Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
которая может быть решена без затруднений; мы получаем:
_______1 ________________!___
1+Ке + °еа + <е 1+*i О-«>+«.
и, следовательно, с точностью до малых второго порядка х— 1 —т,(1 —а) — т,а; уравнение (2) дает нам поэтому
п«=ато 11 — т. (1 — — *.“]•
Если теперь принять во внимание, что
а=е-'т=1-*Т+?Р + 0{Г),
т,=е-^=1 _уГ + ^ + о(Г), х1=в\Те~'>т=vT —v*T*о (Т*), Т1=^е-=^ + о1Г),
то мы после элементарных вычислений получаем с точностью до малых второго порядка
я,= 1—(у + х)Г+1х*Г. (3)
Однако эта формула еще не решает нашей задачи, как и вообще, с помощью одних только уравнений (1) и (2) ее невозможно решить. Дело в том, ч^о если величина v нам прямо дана (\ = 2nt), то величина х, входящая в формулу (3), нам неизвестна; эта величина не принадлежит к числу априорных данных, а напротив, сама является функцией создающегося режима. Поэтому мы обращаемся к выводу второго соотношения, связывающего между собой величины л, и к.
Если в некоторый момент t провод свободен, то вероятность появления вызова со стороны одного (определенного) абонента до момента t-\-dt есть wit; вероятность же появления за этот промежуток времени внешнего вызова есть vdT; таким образом, вероятность того, что к моменту t-\-dt провод окажется занятым (при условии, что в момент t он был свободен), составляет (2>е —j— v) dt. С помощью обычного рассуждения мы отсюда находим: если в момент 0 провод был
свободен, то вероятность того, что ближайшее занятие его произойдет в промежутке времени между t и t-\-dt, равна
«-<«+’)» (2и + v)<«,
а это позволяет найти среднюю величину периода свободы:
Р=] 1 (2х +v) dt=5^;
О
но общее число периодов свободы, очевидно, равно числу разговоров, начинаюдихся без ожидания, т. е. 2 (я, яа) я#. Поэтому суммарная длительность периодов свободы, если положить nt-\-nt = n, составит
2ля0
2x+v*
а так как суммарная длительность всех разговоров есть 2яГ, то мы, очевидно, имеем:
2плл I .2лТ=1.
2х +v
Это и дает нам искомое второе соотношение между п9 и и; отсюда
n.=(2>e+v)(i-r); сопоставляя это с формулой (3), мы находим:
(8H + V) (^-г) = 1 -(v + x)
а подстановка этого выражения в формулу (3) приводит нас к окончательному результату:
я,= 1 - (л, + 2л.) Г-(я, + 2пх) \ Г*. (4)
Числовой пример: Г=0,03; л, = 2; л,=2,5;
1—я, = 0,2163 = 21,63%.
§ 4. Вычисление среднего времени ожидания
Найти среднее время ожидания в данной схеме гораздо труднее, чем в обычных схемах телефонии. Мы ограничимся расчетом приближенной формулы, аналогичной той, которую мы нашли для числа потерь, и для практических целей вполне достаточной.
Обозначим через P(k) относительное время, в течение которого имеется k ожидающих (абонентов или внешних вызовов— безразлично). Найдем сначала приближенное выражение для Р(0)— времени, протекающего в отсутствие ожидающих. Очевидно, что Р(0) слагается из следующих компонент:
1) время, когда провод свободен ~ 1—2пТ;
2) время, когда провод занят, но ожидающих нет; это время мы должны вычислить.
Заметим, что относительное число разговоров, в начале которых не имеется ожидающих, равно
х=я0+яЛ+я«.
Если в момент 0 начался разговор этого типа, то вероятность того, что в течение малого промежутка dt последует вызов, равна (x-f-v)df, а потому, как известно, вероятность того, что до момента t вызова не последует, равна e-<*+v>< *); вероятность того, что ближайший вызов последует в промежутке (/, t-\-dt), равна
<*+'-) < (и + v)rf/.
Поэтому математическое ожидание той части разговора, которая протекает в отсутствие ожидающих, равно
т
Je-(*+’X(x + v)M<+ Те-<х+'>г,
0
что по вычислении дает
Т—1±*т*-\-о(Г).
*) В эти формулы входят х, а не 2х (как прежде) потому, что один из абонентов занят разговором, и вызывать может только другой.
Таким образом, суммарная длительность тех частей разговоров, в течение которых не имеется ожидающих, равна с точностью до малых второго порядка
2пх 17 — = 2пТх 11 —
принимая же во внимание сказанное выше, мы находим:
/>(0)=1— 2пТ+2пТх{\ — (5)
Теперь мы должны были бы перейти к вычислению величины Р(1); это можно произвести теми же методами, хотя и несравненно сложнее. Однако нетрудно сообразить и без всяких вычислений, как должно выразиться Я(1) с точностью, какую мы приняли. В самом деле, обозначая через /-*(> 1)
ОС
время^] Я(6), в течение которого число ожидающих превосходит единицу, мы непосредственно видим, что все это время принадлежит таким разговорам, при окончании которых (т. е. перед началом следующего разговора) число ожидающих не менее чем 2. Относительное число таких разговоров равно 1—ха есть, как мы знаем, малая второго порядка, а так как суммарная длительность таких разговоров получается умножением их числа на Т, то она есть я(1—х)Т; следовательно, она (а тем более и не превышающая ее величина Р(>1)) есть малая третьего порядка. Но если так, то с точностью до малых второго порядка мы должны иметь:
