Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим далее через па относительное число таких разговоров, перед началом которых ожидающим является один абонент; через пе — относительное число таких разговоров, перед началом которых ожидающим является один внешний вызов; в обоих случаях непосредственно после начала данного разговора ожидающих не имеется. Вообще, через ягсс... мы будем обозначать относительное число таких разговоров, непосредственно перед началом которых скученность
характеризуется схемой аее...; в момент начала такого разговора первый охлаждающий выбывает из очереди, и следовательно, непосредственно после -начала разговора скученность определяется схемой ее...
§ 2. Основная система уравнений
Как уже сказано, нашей основной целью является определение величины яв. Однако, как и во всех подобного рода задачах, эту величину удается определить лишь из системы линейных уравнений, в которую наряду с я, в качестве неизвестных входят все величины: яа, яе, яае, яеа,паее, ..., т. е. из системы бесконечного числа линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. К составлению этой системы мы теперь и переходим.
Для того чтобы некоторый разговор начался без предварительного ожидания (вероятность я,), необходимо н достаточно, чтобы 1) в начале предыдущего разговора не было ни одного ожидающего (вероятность я,-(-яЛ-|-яе) и 2) в течение этого предыдущего разговора не поступило ни одного вызова (вероятность ®?); поэтому, полагая для краткости
я,+лЛ + яе = *,
мы будем иметь:
я,=•»$*;
это — первое уравнение нашей системы.
Далее, для того чтобы некоторый разговор начался в момент, когда скученность характеризуется схемой а (вероятность яв), необходимо и достаточно выполнение одной из следующих двух предпосылок — либо 1:1) предшествующий разговор вначале протекает без ожидающих (вероятность х) и 2) в течение этого разговора происходит один вызов от абонента (вероятность v°a), либо II: 1) предшествующий разговор вначале протекает при одном ожидающем абоненте (вероятность ява) и 2) в течение этого разговора никаких вызовов не происходит; отсюда
^a = KX + Vln*a Это — второе уравнение нашей системы.
V«m’
Совершенно аналогичными рассуждениями мы получаем и дальнейшие уравнения нашей системы; вот несколько из них:
Пеа = КаХ + КЛее + КПае +
*ае — КеХ + V>ec + КПеае>
*ее = КеХ + V>ae + КПее + К (°«« + Пеее)
и Т. Д.
Прежде всего заметим, что искомая величина я„ во все уравнения, кроме первого, входит только в комбинации я0-\-па-\-пе — х; поэтому целесообразно ввести х в качестве новой неизвестной вместо я0; при этом мы сначала выбросим первое уравнение нашей системы, поставив своей основной целью определение х\ когда это будет сделано, мы вернемся к этому первому уравнению, чтобы определить из него я0.
Далее, заметим, что наша система, будучи однородной, позволит нам в лучшем случае определить взаимные отношения чисел я; чтобы найти сами эти числа, мы должны, естественно, воспользоваться нормирующим соотношением
я0+я* + я* + яле + явв+ •••“!•
Таким образом, наша система получает следующий вид:
* + лле + яел + яее“Ь ••• = !.
na=v'ax+v\nea, ne=v°ex + vlnee + vinae,
Леа=v°eax + + V»яле + ©$яеев,
Я« = КеХ + Кпеа + КПеае.
Лее «= v°eex + v°enae + (птв + пеее).
(1)
Эта система, в отличие от других, встречаемых в более простых задачах телефонии, не может быть решена методом последовательного (рекуррентного) определения неизвестных;
точное ее решение представляет поэтому значительные трудности. В дальнейшем мы увидим, что для практических целей достаточно дать приближенное решение, получаемое весьма просто.
К системе (1) надо присоединить еще одно добавочное уравнение
(2)
определяющее величину я,.
§ 3. Приближенное решение основной системы
Все величины, входящие в нашу основную систему (1) (как данные, так и искомые), можно рассматривать как функции от 7; на практике Т обычно представляет собой небольшую дробь (примерно '/„). При Т—>0 величины и «J стремятся к единице, а величины v с буквенными нижними индексами — к нулю; при этом va и ve являются (независимо от верхних индексов) малыми первого порядка, vae, vea,vee— второго и т. д. Аналогично этому я,—> 1, а всё я с буквенными индексами бесконечно малы, причем порядок малости совпадает с числом нижних индексов.
Это обстоятельство, естественно, наводит нас на мысль искать приближенное решение системы (1), разлагая все данные и искомые величины по степеням Т и ограничиваясь в этом разложении членами того или иного порядка. В дальнейшем мы проведем все вычисления, пренебрегая всеми, содержащими третью и более высокие степени Т. Первым следствием этого соглашения является то, что система уравнений становится конечной, причем и в оставшихся уравнениях ряд членов исчезает. Первое, четвертое, пятое и шестое уравнения обращаются в систему:
