Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через ч|э (|) характеристическую функцию длительности разговора, т. е. положим
09
*(6) = -$^' dF(i);
положим, далее, для любого вещественного |
Х(1)=2 ЯлЖ!)]*;
k=iQ
наконец, пусть
Л = Л(1)=т[^(1)—11-
Лемма 7.
Доказательство. В силу леммы 5 мы имеем [опре деляя е формулой (39.5)]
00
%(l) = Q — J
О
00
Aso
dF(X):
=е-
¦ (6)
О
00
'«-VII *WW","’W+J *.'-итх)=
О
00
=е
(5) {ci4xdF(„ч е _ni|>(0-i I х(?Жл).
*<5>J arw ч>(6) — ® + *<6> ’
v(txiilLil(ri)._0 ^ (I) ~1.
* t|)(D —у ф(|) •
,(?)=0 , 1-КР_
^ (л)— ^ (»)
Для доказательства леммы 7 остается показать, что q = 1 —а. Но q не зависит от ?, а так как ^(0) = 1, то из последней формулы
о= lim
или, no правилу Лопиталя,
q= lim e-*o
_______=1- lim !Ш*1.
но tj>’(0) = ts, |? = -y- ¦' (?) —*ks=a при g—*0, и мы действительно находим q = 1—а.
§ 40. Характеристическая функция времени ожидан чя
Целью нашего исследования является отыскание закона распределения случайной величины y — времени ожидания для вызоза, производимого в произвольно выбранный момент времени. Так как всякий закон распределения однозначно
определяется соответствующей характеристической функцией, а отыскание важнейших свободных характеристик случайной величины по ее характеристической функции обычно бывает проще, чем по ее закону распределения, то мы естественно будем считать нашу цель достигнутой, если кал удастся найти характеристическую функцию <р(?) величины у» т. е. математическое ожидание величины е1^ как функцию вещественного параметра ?. К этому и будут направлены наши усилия.
Пусть в дальнейшем М есть символ математического ожидания, так что <р {%) = Ме,г-. Мы будем различать следующие возможности. Во-первых, в произвольно выбранный момент мы можем застать линию свободной; вероятность этого равна 1—а, и в этом случае наверняка у = 0, е'7* = 1. Во-вторых, мы можем застать, линию занятой при к ожидающих [к— = 0, 1,2,...); вероятность этого мы обозначим через Р(?), а математические ожидания, вычисленные при этом условии, будем обозначать через М*. Очевидно, мы имеем
<р (I) = = 1 — « + 2 Р (*)
ft=o
Если наш вызов застал линию занятой при к ожидающих, то время ожидания у для него слагается из двух частей: 1) остаточная длительность т того разговора, который ведется в момент появления нашего вызова, и 2) суммарная длительность Г разговоров тех k ожидающих, которых наш вызов застал при своем появлении. Мы имеем поэтому
у=х + Т, М*е,Т5=М* (в^П).
Но очевидно, что при данном k величины х и Т взаимно независимы. Поэтому мы имеем
<p(&)=l-a+S Р W Мке?*
ft=o
Величина M***7"5 вычисляется непосредственно. В самом деле, величина Т есть сумма к взаимно независимых случайных величин, распределенных по закону F(x) с характеристической функцией г|>(?). Поэтому
Ц>№)1* (*=0,1,2,...)
<р (?)*¦* 1 —«+ 2 №(?)]*PW *=-0
Обозначим через Qk(x) закон распределения величины х (вероятность неравенства т^>лг) при к ожидающих. Тогда
00
Мк^ = -\е^х dQk{x)\
О
00
Р (*) М*^=- S № Р (k) dQk (*).
О
Но величина
P(W*(*) — Q*U+<**)]
есть, очевидно, вероятность того, что наш вызов застанет пинию занятой при k ожидающих и что при этом будет Эта вероятность в силу леммы 4 с точностью до малых высших порядков при dx—*-0 равна
00
— ‘Kdx[uk(t — x)dF{t).
X
Поэтому мы получаем
00 СО
Р (к) М*е'г' =— X J е>*х dx $ ик (t — л:) dF(t),
О X
и следовательно,
оо оо / оо >
<pU) = l-a-\$e'Vd*U 2 [¦№)]*«k(t-x)\dF(t),
О * V *=о )
откуда в силу леммы 6
со оо оо
Ф (!) = 1—а — К \ e'^dx \ вх*-^»гФ«?»-ч 2 Jtft [“ф (?)]*<*/>(*)=
о ; *=«
00 00
= 1 — а — Ъ.% (I) 5 Я* dx $ в'-''-*п<Ку-ч dF{t),
О х
ОО
где положено, как в § 39, 2 ***[ip(*)]A=X(S)- Если мы
