Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
3. Феллер В., Введение о теорию вероятностей и ее приложе ния. Изд. иностр. лит., 1952.
4. Фрай Т., Теория вероятностей для инженеров, Гостехнздат 1934.
5. Хинчии А. Я., Асимптотические законы теории вероятностей 0.11 И, 1936
6. X и н ч и и А Я., Математическая теория стационарной оче реди. Мат. сборн 1932, 39, № 4, 73—81.
7. Frlang А. К. The Life and WorKs oi The Copenhagen Tele phone Co npany, 19-13.
8. Palm C., Intensitat-i'schwankungen im Fernsprechverkehr, Erics son Technics, 194.3. 44, I —189
9. Rednelier R. M. A note on the Poisso.i law, Math. Maga zirie, 1953, 25. № 4, 185—183.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ОЧЕРЕДИ*)
Предлагаемое исследование было предпринято с целью ответить на некоторые вопросы, возникшие в связи со строительством и эксплуатацией телефонных станций: однако, результаты его имеют совершенно облий характер и могут найти применение к случаю любой очереди в периоде ее стационарности, т. е. при условии, что очередь не имеет тенденции к нарастанию или убыванию; следует отметить, что применяемые здесь методы, безусловно, могут служить орудием исследования и нестацнунарных очередей; однако, эта (шрочэм, йриктически менее важная) часть работы в настоящее время еще не выполнена.
В частности, я полагаю, чта результаты настоящего исследования могут служить основанием для расчетоз основных показателей времени простоя стаикол и других установок в некоторых отраслях промышленности — всякий раз, когда большое число устанозок поручается наблюдению одного раблчего. В этом случае очередь образуется станками, ожидающими ремонтной операции. Однако в случае, когда число станкоз, поручаемых одилму рабочему, не велико (лежит в пределах одного десятка), формулы настоящей статьи становятся неточными, и следует избегать пользоваться ими. Этот случай, более сложный, требует специального исследования, которое я надеюсь изложить в другой работе.
Опытная проверка результатов настоящего исследования ведется Московской городской телэфжной станцией. Результаты ее, а также практические празила расчета времени
*) Матем. сб., т. 39 (1932), № 4, стр. 73—84.
ожидания, вытекающие из полученных формул, будут опубликованы в соответствующей научно-технической печати.
Некоторые из результатов настоящей работы содержатся в качестве частных случаев в работах Pollaczeck’a 1930 г.*) Однако я счел желательным все же их опубликовать, так как чрезвычайно громоздкий метод (позволяющий, правда, в то же время решать более общие задачи) делает чтение его работ крайне затруднительным, в особенности для инженера. Некоторые частные случаи формулы для среднего времени ожидания (§ 4) были найдены Thornton Fry’eM**), которому, по-видимому, принадлежит и идея применяемого мною рекуррентного метода, хотя Fry применяет его к другим объектам и в других предположениях.
В дальнейшем речь идет о вызовах, разговорах, абонентах и т. п. Эта терминология, взятая из телефонной практики, выбрана лишь для определенности и ни в какой мере не должна ограничивать собою области приложимости полученных результатов.
§ 1. Определения, обозначения и постановка задачи
Телефонистка, обслуживающая данную (многочисленную) группу абонентов, получает, в среднем, определенное число вызовов (требований) в час. Мы допускаем, что вероятность поступления данного числа k вызовов в данный промежуток времени t зависит только от длины этого промежутка, но не зависит ни от момента его начала, ни от того, сколько абонентов находилось в этот момент в состоянии ожидания разговора. Это условие и является предпосылкой стационарности очереди. Если вызов застает телефонистку занятой, абонент должен выждать, пока она переговорит со всеми абонентами, ранее него занявшими очередь. Длительность разговора между абонентом и телефонисткой предполагается случайной величиною; в дальнейшем через f(t)dt обозначается вероятность того, что эта длительность заключена между t и t-\-dt (таким образом, f(f)dt есть относительное число разговоров^ имеющих данную длительность). Средняя
*) Math. Zeitschr., т. 32, 1930, г 64, стр. 729.
**) См. его книгу «Теория вероятностей для инженеров», ГТТИ, 1934.
продолжительность разговора равна
00
о
Если в единицу времени (за которую в телефонной практике обычно принимается час) происходит п вызовов, то =а есть среднее время занятости (нагрузка) телефонистки. Во всем дальнейшем предполагается а<^ 1, так как в противном случае очередь, как легко видеть, безгранично растет и не может быть стационарной (такого рода установка была бы в качестве постоянной установки практически бессмысленной).
Таким образом данными нашей задачи служат: с одной стороны, функция /(?) (закон распределения длительности разговоров), с другой,— число а (нагрузка телефонистки) или п (число вызовов в час). Ищется, в конечном счете, закон распределения времени ожидания, т. е. вероятность того, что абонент, производящий вызов в произвольно выбранный момент времени, должен будет прождать более чем t часов, прежде чем вступит в разговор с телефонисткой; наиболее важными показателями являются, однако, среднее значение этого времени ожидания и его среднее квадратическое отклонение.
