Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
или
Это дает, если для краткости положить еще k/fi—y,
Pk^JfiPo Л)*
в частности, при Ыл мы находим
Уп
Чтобы найти значения рк при &^>л, мы обращаемся к последней группе уравнений (34.2). Перепишем их в виде:
«Р(Pk+i — Pk) = b(Pk — Рк-х) (*>«).
и просуммируем по k от п до п 4- г:
ЛР (Ря+r+l Рц) X (Ря + Г Рл-\)>
откуда
пРРп+г+х +2п = Ь-Рп+г,
или, так как 2„ = 0, X/f}=y,
Pn+r+i=i Рп+, (г 2*0),
и следовательно, в силу (34.3)
P„+,+1 = (|)r+,f?P. (г>0).
Таким образом, для любого ft ^ л мы имеем
<34-4>
Соединяя этот результат с полученным прежде для ft С л, мы находим
Рк—^Р* (0<*<л);
P‘=1S=P'
Нам остается найти р4. Нормирующее условие
(34.5)
где положено sm (_у) = 2 (ykjk\). Вспомним для сравнения,
А=о
что в случае системы с потерями мы имели (§ 20)
Отметим еще, что вероятность найти все линии занятыми («вероятность ожидания») равна в силу (34.4)
n-fft-^foo'-SrV ^
kz=n к—п 1---—
§ 35. Закои распределения времени ожидания
Теперь мы уже легко можем найти вероятность Р того, что для поступившего в произвольно выбранный момент вызова время ожидания будет больше чем t. Обозначим через P*{Y^0 условную вероятность того же неравенства в предположении, что произведенный вызов застал систему в состоянии k. По формуле полной вероятности мы имеем
P{Y><}=Sp»P*{Y><}.
k=0
или, так как, очевидно, Рл{у>*} = 0 при k<^n и /Зг 0, P{Y>*}= 2/>*P*{Y>*}- (35.1)
*=»I
Величины рк нам известны; остается определить величины P*{y!^>0 при всех k^n.
Положим k — п = v (v = 0, 1, 2, ...). Наша задача — найти вероятность неравенства уt при условии, что в момент вызова все линии были заняты и сверх того имелось v ожидаю:цих. Очевидно, что при этом наш вызов получает разговор после (v-f- 1 )-го освобождения линии. Искомая вероятность есть поэтому вероятность того, что за время t после появления нашего вызова произойдет не более чем v освобождений линни. Пусть qr (t) (0 г v) есть вероятность того, что за это время произойдет ровно г освобождений;
тогда в силу k — л—v
Но поток освобождений за время ожидания нашего вызова представляет собой в силу показательного закона распределения длин разговоров простейший поток с параметром яр, так как вероятность того, что не произойдет ни одного освобождения за время t после такого момента, когда все линии заняты, равна (e~^t)n = e~?nt. Величина qr(t) есть вероятность того, что за время / наступит г событий этого потока; в силу формул главы 1 поэтому
Возвращаясь к формуле (35.1) и используя соотношение
(34.4), мы находим
qr(t) = e-*9t{-$f (0 <r<v),
и мы находим
Этим наша задача решена. Мы видим, что в принятых нами условиях время ожидания подчиняется показательному закону распределения с параметром лр — Я. Вместе с тем мы по* лучаем
P{Y>0}=n.
как оно и должно быть: через П мы как раз обозначили в конце § 34 вероятность застать все линии занятыми («вероятность ожидания»).
Глава 10
ОДНОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ СТАНДАРТНОЙ ДЛИНЫ РАЗГОВОРА
§ 86. Разностно-дифференциальное уравнение задачи
За пределами показательного распределения длин разговоров исследование систем с ожиданием сопряжено с большими трудностями. Простые и законченные результаты здесь удается получ ть лишь в некоторых частных предположениях. Особенно важным в практическом отношении является случай систем с одной линией (короче: однолинейных систем), для которых задача исследования времени ожидания может быть продвинута весьма далеко при статистических предпосылках широкой общности. Этим случаем мы и будем теперь заниматься до конца книги.
В настоящей главе мы изложим созданную Эрлангом интересную как оригинальностью метода, так и законченностью результатов теорию однолинейных систем в предположении, что все разговоры имеют в точности одну и ту же длину т. Во всех других отношениях мы сохраняем статистические предпосылки предшествующей главы.
Рассмотрим какие-либо два последовательных вызова. Пусть Y0 — время ожидания первого вызова, а у — второго. Обозначим через г расстояние между этими двумя вызовами. Очевидно, что если то при появлении второго
вызова (единственная) линия свободна и у —если же то при появлении второго вызова линия занята и ему приходится ждать в течение промежутка времени y=Y(-(-‘r —z' Таким образом, мы находим, что при данном
0 (Ye+T —и<0); , + т — a (Y0 + T — в>°).
или, что то же,
Y = max(0, у» + т —и).
