Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы найти т, заметим, что вероятность застать разговор длительности, заключенной между t и равна, как мы
уже видели,
fif{i)dt; pi
при этом же условии математическое ожидание величины т, I ,
очевидно, равно yf; отсюда
о
где |л, означает математическое ожидание квадрата длительности разговора.
Что касается величины Т, то при условии, что в момент вызоза занято 1 абэнентов, ее математическое ожидание, очевидно, становится равным (у—l)|i,; отсюда:
Д(/-1 )/>(/);
со
а так как ^fP(J) есть математическое ожидание числа за-
/=I
нятых абонентов в произвольно выбранный момент времени,
очевидно, совпадающее с суммарным временем занятости всех абонентов в течение часа, то мы имеем:
оо
Z jPU)=п (fi, 4-'у)=<а+г.
/=> « с другой стороны, очевидно
|Р(У) = 1-Р(0)=а,
так что
f=fi, (“4-^-Y —a)=«Y;
таким образом
y=t?+«v.
откуда
Y=2Ws‘ W
Эта простая формула полностью решает вопрос о среднем времени ожидания *); мы видим, что у зависит не только от средней длительности разговора, но и от дисперсии. Практически это лишний раз подчеркивает важность стандартизации разговора между абонентом и телефонисткой.
В качестве числового примера рассмотрим случай нулевой дисперсии (fia=|i?), в налаженной телефонной практике близкий к действительности; положим а=0,6, (i, = 8 сек.; это дает у = 6 сек.; если при тех же а и fi, предположить распределение длительности разговоров по показательному закону (ввиду его простоты часто, хотя и без достаточных оснований принимаемому за базу теоретических изысканий), то fit==2fif, и среднее время ожидания увеличивается вдвое: у— 12 сек.
*) Мы считаем нужным указать, что имеющая некоторое распространение среди практиков формула д-ра Маттиаса неверна, и вывод ее основан на ошибочных предпосылках.
§ б. Формулы для основных вероятностей
Мы видели, что среднее время ожидания у находится вполне элементарно; однако, уже математическое ожидание величины у* этим методом не удалось бы установить ввиду отмеченной зависимости между величинами т и Т. Здесь необходим более глубокий анализ.
Прежде всего, поставим следующую задачу: если известно, что в некоторый момент времени происходит разговор, длительность которого равна t, то какова вероятность того, что в этот момент занято j абонентов, и что в то же время уже протекшая часть разговора и заключена между х и x-\-dx? Обозначая эту вероятность через Pt{j\ х<^ <^u<^x-\-dx), мы, очевидно, будем иметь в легко понятных обозначениях:
Pt(J, x<^u<^x-\-dx)=Pi(j)Pi'j(x<^u<^x-\-dx) =
= Рt {X <С и Х "4" dx) = Pf, X < a<x+dx(j)‘
Правая часть этих равенств легко может быть вычислена; в самом деле, во-первых (ср. § 3):
г dx ^ ,
п , / ^ | j ч т * если * <С *»
Pt(x<^tt<^x-\-dx) = i t ^
I 0, если х~^>t;
во-вторых, последний множитель совпадает с Рх < „ < x+dx (j) (так как при фиксированной протекшей части разговора его общая длительность, очевидно, не может влиять на степень скученности в данный момент), и следовательно, равен:
Я/V* (*) + «у -1V, (*) + • • • + К + Я„) \j _ , (ЛГ) = Uj _, (х).
Таким образом:
Pt U)Pt, j (х <а<х -f dx) = а,_х (х) у
в случае x<^t и 0 в случае x~^>t.
Но при данном t неравенства x<^u<^x-\-dx эквивалентны неравенствам t — х — dx<^x<^t— х, а потому:
ptU)Pt,j{x<T<x-\-dx)=uJ_l(t — x)j
при *<[/ и 0 при x^>t. Чтобы получить отсюда величину P{f)P/(x<^x<^x^\-dx), т. е. вероятность того, что
в произвольно выбранный момент времени мы найдем / занятых абонентов и что застигнутый нами при этом разгоюр продлится еще в течение времени, заключенного между х и x-\-dx, надо, очевидно, помножить найденную веролтность
на —tf(t)dt и проинтегрировать по t от х до оо (ибо при <<^лг подынтегральная функция равна нулю). Таким образом:
оо
РЦ) Р, (* < т < х + dx) = 2L dx j и,., (/ - X)/(t) dt, (6)
X
где j= 1, 2, 3, ...
§ 6. Характеристическая функция времени ожидания
Как известно* для изучения всех вопросов связанных с законом распределения случайной величины у. в частности, для вычисления ее моментов любого порядка, удобнее всего найти ее характеристическую функцию, т. е. математическое ожидание выражения е'-1«, рассматриваемое как функция параметра |. Так мы и поступим. Пользуясь для обозначения математического ожидания символом Е, мы будем иметь:
ф (I) = Е (en?) = Е (е'т& <?'г<).
Однако математическое ожидание произведения в данном случае не равно произведению математических ожиданий, ввиду отмеченной зависимости величин т и Т. Поэтому для оты:кания характеристической функции величины у мы должны прибегнуть к более сложному приему.
