Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь t — любое положительное число. Убедимся, что при данном г —а неравенства y<^t и Yo<C*-f_M—т равносильны между собой. В самом деле, если y <С то ли®° ¦у = 0, и тогда у„<,и — x<C_u-\-t— т, либо y=y»4*t — и* и тогда + т — И<С*> и значит, + и—х> обратно,
если Yo<^t-\-a—x, то либо y0<1и — т» Y> + T — «<С°. Y==0<^t, либо Yo^>tt — T>Y = Yo4*T— aТаким образом, если Ри означает условную вероятность, вычисленную в предположении, что г=и, то мы имеем при любом и>0
P.{Y<*}=P.{Y.<*+«-T} V>0);
но Yo (время ожидания первого вызова), очевидно, не зависит (как случайная величина) от того, когда последует второй вызов, т. е. какое значение получит величина z; поэтому условная вероятность PB{Yo<C* + a— т) неравенства yt<^ <^t-\-u — т равна безусловной вероятности Р {y0 * 4“ и — ТУ
того же неравенства, и мы получаем
P.{Y<*} = P{Y.<* + «-t} V>0). (36.1)
Обозначим через /(f) закон распределения величины у, полагая
/U) = P{Y<n-
Так как поток вызовов мы предполагаем простейшим с параметром Я, то вероятность неравенств а < z а da (с точностью до бесконечно малых высших порядков^ равна Хе~Ха da, и мы по формуле полной вероятности находим
00
/(/)=5 а,в-х“р„ {?</}</«,
о
или в силу (36.1) при / S* О
00
/(/) = S а,*-р {Y, < / + а —г} </и.
Но закон распределения величины у0 дается той же функцией f(t), что и для величины у; поэтому мы находим
00
/(/> = S Ле-х*/(/+в—¦x)du (*> 0).
о
Это уравнение и будет служить нам основой для определения искомой функции f(t). Прежде всего, предполагая эту функцию дифференцируемой, мы находим
СО
f'{t) = ]%e-Xuf'(t-\-u — x)da (fS* 0),
О
и интеграция па частям дает
00 00
/'Ю==Лв-‘«/(< + «— Т) I +vle-uf(t + a — x)du =
° =_*/(* —т) + А/(0.
или
/Ч0 = М/(0-/(<-*)] (#>0).
Мы получаем, таким образом, для определения функции f{t) разностно-дис^еренциальное уравнение простого вида. Это уравнение может быть еще упрощено преобразованием исковой функции
f(t) = extg(t),
что, как легко видеть, дает для новой неизвестной функции уравнение
g'{t) = -ke-ug(t-х) (*> 0). (36.2)
§ 37. Закон распределения времени ожидания
Рассмотрим сначала отрезок времени в силу
/^>0 при этом имеют место все соотношения, выведенные, в § 36. Но при t ^ т мы имеем — т) = Р {Y <С * — ^^ = 0, и следовательно, соотношение (36.2) дает
g'(i) — 0, g(t)== с = const (0<*<т),
откуда
f(t) = ce '(0</<т).
Чтобы определить постоянную с, заставим в последнем равенстве i стремиться к нулю; в пределе мы получим с=/(-}-0), но/(—0) = 0, а потому с=/(-{-0)—/(—0) = = р{у = 0}; это есть вероятность того, что поступившему в произвольно выбранный момент вызову не придется ожидать (линия окажется свободной); поэтому с= 1—а, где а означает вероятность в произвольно выбранный момент застать линию занятой. Иначе говоря, а есть математическое ожидание суммарной длительности всех разговоров, ведущихся в течение единицы времени. Но математическое ожидание числа разговоров в единицу времени равно X, а длительность каждого разговора равна т; следовательно,
а=Кх, с = 1—а=1 — Хт.
Таким образом, окончательно
/(0 = (1— а)еи «х=Хт, 0<*<т),
и закон распределения времени ожидания найден нами для отрезка
Мы теперь докажем, что для любого неотрицательного целого числа п в отрезке лт<^/^(л-|- 1)т функция g(t) определяется формулой
g (t) = (1 - а) ? г-** <Z*jz? X* (37.1)
k=0
Так как функция f(f) просто выражается через функцию g(t), то этим мы получим явное выражение для закона распределения времени ожидания.
При л=0 формула (37.1) дает
?(/)=!— а (0<*<т),
что нами доказано выше. Поэтому мы можем доказать формулу (37.1) с помощью индукции. Допустим, что она верна для какого-либо числа л ^ 0, и покажем, что в таком случае она останется верной и для числа л 1.
Итак, пусть соотношение (37.1) верно при лт<^/< ^(л+1)т; если (л-J- 1)т<^(л —J— 2)т, то в силу (36.2)
5 А. Я. Xиичин
мы будем иметь
g'(t) = -Xe-x'g(t-т) =
=—— а) 2 «"“* -—~k\+ Т>*
Л=о
интегрируя это равенство по t от (л-)- 1)т до числа, которое мы снова обозначим через t, найдем
«'(О — ^[(я-h!) т] =
п t
в_Хе-х’0-«) J Ц*+1)т —«]й rf«.
* = » <В + 1)Т
Здесь
i
С [(k+\)x-u]kdu=
(»+»)*
=- ITi №* +1)Т —0k+1 —К* — л)
а потому
