Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
максимально возможной энергии занятого электронного состояния (при Т = 0
энергия Ферми и химический потенциал совпадают). При конечных
температурах химический потенциал зависит от температуры (соотношение
(8.128)), однако, поскольку электронный газ в металлах вырожденный, его
концентрация фактически не зависит от температуры, что и предопределяет
соответствие: химический потенциал примерно равен энергии Ферми (гл. 8).
Напротив, в полупроводниках электроны проводимости появляются только при
конечных температурах, что отвечает возбужденному состоянию. В результате
концентрация носителей заряда сильно зависит от температуры, вследствие
чего химический потенциал, который в физике полупроводников обычно также
называют уровнем Ферми, есть функция концентрации и температуры. Так, для
собственных полупроводников уровень Ферми р находится в запрещенной зоне.
10.3. Концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной
зоне). Закон действующих масс
Рассчитаем концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника при
конечных температурах. Для этого воспользуемся представлением
электронного газа в модели сильной связи, справедливым в окрестности
центра зоны Бриллюэна. Поскольку рассматриваются электроны в зоне
проводимости, отсчет энергии должен осуществляться от дна зоны
проводимости ес (индекс "с"
10.3. Концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости 249
от англ. conductivity-проводимость):
h2k2 р2
е = ?с~\------= ес+-. (10.4)
2 m 2m v 7
Здесь m - эффективная масса электронов в твердом теле. Из
(10.4) получим
р = у/2т(е - ес),
1 (Ю.5)
dp = -\/2m(e - ес) x!2de.
Используя (10.5), аналогично §8.8 получим
V (2 то\3/2
dN = D(e)de = j - scds. (10.6)
Таким образом, для плотности электронных состояний свободных электронов
из (10.6) следует
V ( 2 т\
3/2
D(E)=2~Ale) '/Г^Т- (10'7)
Важное отличие (10.7) от плотности электронных состояний в металлах
(8.101) состоит в том, что используется эффективная масса электронов.
Принимая, что полупроводник - невырожденного типа, и для него справедливо
распределение (10.3), и подставляя
(10.3) и (Ю.7) в (8.98), для числа электронов на единицу объема
(концентрации) электронов в зоне проводимости получим
250
Гл. 10. Свойства полупроводников
где введены обозначения х = е/(квТ), эффективная плотность состояний
электронов в зоне проводимости
Верхний предел в интеграле принят равным бесконечности потому, что
функция распределения (10.3) быстро спадает по мере увеличения энергии
электронов е > ес. Значение интеграла в
(10.10) известно:
Подстановка (10.12) в (10.8) приводит к окончательному соотношению для
зависимости концентрации электронов в зоне проводимости невырожденного
полупроводника от температуры:
С помощью формулы (10.13) можно определить положение уровня Ферми при
данной температуре и концентрации электронов:
Из (10.14) следует вывод: чем больше концентрация электронов, тем уровень
Ферми, оставаясь в запрещенной зоне, оказывается ближе к дну зоны
проводимости.
Примем во внимание, что при термическом (или ином) переходе одного
электрона в зону проводимости в собственном (беспримесном) полупроводнике
одновременно появляется пара носителей заряда: электрон в зоне
проводимости и дырка в валентной зоне (см. рис. 10.1 б). Благодаря этому
обстоятельству концентрация
(10.9)
и один из семейства интегралов Ферми-Дирака
^k ТС) J ехР ( -(Ю.10)
о
ОО
(10.11)
о
тогда
(10.12)
Nc ехр
(10.14)
10.3. Концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости 251
дырок в валентной зоне может быть подсчитана аналогично электронной
концентрации в зоне проводимости.
Поскольку дырки рассматриваются в валентной зоне, отсчет энергии должен
осуществляться от потолка валентной зоны ev. Если, в соответствии с
моделью, описанной соотношениями (9.94)-(9.96), взять простой закон
дисперсии для "свободных" дырок, действующий на границе зоны Бриллюэна -
вблизи максимума энергии в разрешенной зоне (потолка валентной зоны), то
можно записать
2
? = ?v ~\~ х • (10.15)
2 mh
В (10.15) величина т,}г - эффективная масса дырки в кристалле, в общем
случае, существенно отличающаяся как от массы свободного электрона, так и
от эффективной массы электрона в твердом теле. Функция плотности
состояний дырок в валентной зоне вблизи ее потолка, аналогично (10.7) и с
учетом (10.15), будет иметь вид
Dh(?) = ^2 (ijr") ^?v ~ ?¦ (10Л6)
Вероятность обнаружить дырку с данной энергией при определенной
температуре может быть также определена с помощью функции типа
распределения Ферми-Дирака, однако в данном случае нужно найти
вероятность отсутствия электрона:
fh(e) = 1 - f(e) = ----------- 1 (10.17)
1 + ехр ((р - г)/(квТ))
Аналогично случаю невырожденного электронного газа, существует и газ
невырожденных дырок, благодаря чему соотношение (10.17) приобретает вид
fh(e) и ехр (yy)- (10.18)
Тогда, аналогично (10.13), для концентрации дырок пр в валентной зоне
имеем:
252
Гл. 10. Свойства полупроводников
