Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку выполняется
ОО {(-
де
- со
то первый член в (8.118) равен
д
G(g) = J g(e)de. (8.120)
- ОО
Интегралы в равенстве (8.118) в общем виде могут быть записаны так:
/"=й /(е-''>"(-Ю*=
-оо
оо
(kBT)n [ (е-д\п ехр ((е - д)/квТ) (е - д
квТ J (ехр (е - д)/квТ) + l)2 V квТ
ОО
= , (8.121)
га! J ех + е~х + 2 v '
8.9. Теплоемкость газа свободных электронов
211
где х = (е - р)/квТ. Поскольку подынтегральная функция - нечетная для
нечетных п, то из всех интегралов (8.121) не равны нулю только интегралы
с четным показателем степени п. Для вычисления энергии и теплоемкости
газа свободных электронов достаточно, помимо первого члена (8.120),
оставить в ряду (8.118) только член с п = 2. Такой интеграл имеет
табличное значение
Используя результат (8.122) и соотношения (8.121) и (8.118), исходное
выражение (8.114) можно представить так:
С помощью этой формулы можно получить значения интегралов
(8.112) и (8.113). Найдем сначала зависимость химического потенциала
(уровня Ферми) от температуры. Для этого с помощью
(8.123) представим интеграл (8.113) в виде
Записав (8.124) при 0К, имеем фактически совпадающее с (8.105) выражение
Вычитая (8.125) из (8.124) и применяя формулу Лагранжа для среднего
значения, имеем:
При записи (8.126) мы приняли во внимание, что при низких температурах
энергия Ферми и уровень Ферми отличаются мало: eF ~ р (надо, конечно,
корректно применять это приближенное равенство!). Значение eF от
температуры не зависит. Отсюда для температурной зависимости уровня Ферми
в металлах получаем:
ОО
(8.122)
- ОО
ОО
J g{e)f{e)deK, j g{e)de + у(/гвТ)2
(8.123)
- ОО
- оо
N =
(8.124)
- ОО
(8.125)
- ОО
е=е-р
= о.
(8.126)
212
Гл. 8. Электроны в металлах
Используя значение плотности электронных состояний свободных электронов
(8.101), взятое при е = eF, из (8.127) получим окончательное соотношение:
Итак, уровень Ферми всегда меньше энергии Ферми, но при низких
температурах поправка имеет значение не более 10-4.
Используя (8.112) и представление (8.123), запишем выражение для энергии
газа свободных электронов при низких температурах:
ОО /Л
Продифференцируем (8.129) по температуре, принимая во внимание, что
уровень Ферми также зависит от температуры:
Взяв производную от уровня Ферми (8.127) по температуре и подставляя ее
значение в (8.130), легко убедиться, что в (8.130) сумма в скобках
обращается в нуль, благодаря чему для теплоемкости свободного
электронного газа имеем:
(8.128)
Е =
j f{e)D{e)de= J D{e)de + у(ВД2 j ^ (eD(e)) J
- ОС
- ОС
(8.129)
7Г
2
k2BTD(eF) + D(p) (
dp 7Г2 k\T dD(s)
dT + YD(s) d(s)
3
(8.130)
(8.131)
Подставляя (8.107) в (8.101), получим:
8.10. Электропроводность и закон Ома
213
Используя определение температуры Ферми (8.110), имеем:
= ^г. (8.133)
Z/tg J. р
Подставляя (8.133) в (8.131), соотношение для электронной молярной
теплоемкости можно представить так:
= 1 к2мк1т = JL' (8.134)
2 eF 2 вГр v '
Следовательно, вклад в теплоемкость, связанный с электронами, при низких
температурах пропорционален абсолютной температуре.
При температурах ниже температуры Дебая теплоемкость металлов при
постоянном объеме может быть записана в виде суммы двух членов, первый из
которых описывает вклад свободных электронов, а второй - колебаний
решетки:
С = Сэл + Среш = уТ + АТ3, (8.135)
где 7 и А - константы, характерные для данного материала. Электронная
часть теплоемкости линейно зависит от температуры и поэтому будет
различимой лишь при очень низких температурах. Действительно, принимая во
внимание формулу (5.48), для отношения решеточной и электронной
теплоемкостей при низких температурах имеем:
Ср.- = 'Ti4Nk.iT/ef ^ (ТА 2
С" (1/2 p2Nk,(T/T")~ Uv '
Принимая для оценки из табл. 8.3, что TF 2 • 104 К, а температура Дебая в
ра 100К, имеем Среш/Сэл ~ Г2. Следовательно, вклад электронной
теплоемкости может превышать решеточный лишь при температурах ниже 1 К.
При более высоких температурах главным становится "решеточный" вклад, на
фоне которого малое значение электронной теплоемкости становится
неразличимым. Тем самым преодолевается противоречие, присущее
классической теории электронных свойств металлов (п. 8.3.2).
8.10. Электропроводность и закон Ома в квантовом представлении
Импульс свободного электрона связан с волновым вектором соотношением
to0v = Як.
(8.137)
214
Гл. 8. Электроны в металлах
На отрицательно заряженную частицу со стороны электрического поля
действует сила
F = -еЕ. (8.138)
Тогда второй закон Ньютона для электронов может быть записан
в виде
dv ..dk .
m0- = h- = - eE. (8.139)
dt dt v '
Уравнение (8.139) можно проинтегрировать так:
k(0 - k(0) = --p-t. (8.140)
n
Если включить электрическое поле в момент времени t = 0, то электроны,
заполнявшие сферу Ферми в момент включения поля так, что ее центр
находился в начале координат к-пространства, спустя время St приобретут
приращение импульса. Можно сказать, что под действием электрического поля
каждый электрон, находившийся в исходном состоянии с волновым вектором к,
