Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Такой анализ хорошо известен в электромагнитной теории [особенно ясное изложение см. Барк (1969; 1970)]. Однако (56
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. 1
в общей теории относительности он был доведен до окончательного завершения лишь недавно.
В оставшейся части этого раздела мы опишем два таких общерелятивистских расчета.
Первым из них является анализ почти ньютоновских, медленно движущихся систем, проведенный Барком (1969; 1970), Чанд-расекаром и Эспозито (1970) и Торном (1968) [обзор см. Барк и Торн (1969)]. В этом анализе уравнения общей теории относительности раскладываются по степеням квадрата скорости материи в источнике (vie)2, который одного порядка величины с безразмерным ньютоновским потенциалом ф/с2 и с отношением давления к плотности энергии в равновесной звезде. Например, для Солнца (v — параболическая скорость):
(;v/c)2 ~ ф/с2 ~ P / ре2 ~ IO-6.
Низший порядок (v/c)2 соответствует ньютоновской теории. В следующем порядке (vjcY получаются пост-ньютоновские поправки к ньютоновской теории (смещение перигелия Меркурия; увлечение инерциальной системы отсчета; релятивистская неустойчивость в сверхмассивных звездах). В следующем порядке (vie)* получаются еще меньшие пост-ньютоновские поправки. И, наконец, в порядке (vie)1 появляется обратная реакция излучения.
Один из принципиальных результатов Барка и Торна состоит в том, что эффекты реакции излучения могут быть поняты и легко вычислены без обращения к пост-ньютоновским поправкам промежуточных порядков (vie)4 и (vie)*. Результат в равной мере применим к общей теории относительности, электромагнитной теории или к скалярно-волновой теории (см. § 7 гл. 2). Проиллюстрируем его в случае скалярно-волновой теории.
Пространство разделяется на «ближнюю зону» (г Я, где Я — характерная длина волны) и «волновую зону» (г^>Я). Считается, что источник расположен полностью в ближней зоне. В волновой зоне скалярные волны (предполагаемые для определенности монохроматическими и квадрупольными) для реальных задач будут чисто расходящимися:
%асх~г"1/52(созЄ)^(^), г>Я = 2да/<0. (1.14.10а) Однако поучительно рассмотреть также стоячие волны
^стояч~Р2(cos0)cos(®г)г>^ (1.14.10b)
и сходящиеся волны
^cxos~г"1р2(cosЄ)Є*<*+'>, г>Я. (1.14.10с) § 14] ТОРМОЖЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ 69
,Если скалярное волновое уравнение имеет обычную форму f"]i|) = = 0, то точная форма этих волн содержит в различных комбинациях сферические функции Бесселя:
Vcx ~ ln2 (cor) + Ij2 (or)l P2 (cos Є) (1.14.11а)
^стояч ~ (cor) P2(cos Є) е-<, (1.14.11b)
^сход ~ ln2 («Г) - Ij2 (cor)] P2 (cos Є) (1.14.11c)
Любое из этих полей определяется источником в ближней зоне. Будучи проэкстраполированы назад в ближнюю зону, поля(1.14.11) примут такой вид:
%асх ~{lr"8 +...]+ 4 to5 [га + ...]} P2(COSB)^, (1.14.11а') ^стояч ~ Ir"8 + • • •] р2 (cos Є) (1Л4.1 lb')
^сход~{1г"8 + • • •] -"Ti(°e [г2+ • • -]}Л(созЄ)^. (1.14.11с')
В каждом случае доминирующая («ньютоновская») часть этих полей я|)(НЬЮТ) ~ r~sP2 (cos 0) еш одинакова — и это точный вид асимптотического вблизи нуля поля, которое должно генерироваться осциллирующим квадрупольным источником. В случае стоячих волн остается только этот член. Однако для бегущих волн имеется вдобавок еще малый член я|) ~ Ir2P2 (cos G) еш, который появляется из функции Бесселя J2 и не совпадает по фазе с главной частью (коэффициент і). Именно этот член приводит к силам реакции излучения и мы будем обозначать его Я|)реакц.'
^реакц - Iti^r2P2 (COS Є) Є**. (1.14.12)
Заметим, что внутри источника я|)реакц меньше, чем ньютоновская часть поля я|)ньют в (coi?)5 a (v!c)b раз, где R — размер источника и V — его характерная внутренняя скорость. Относительные фазы Фреакц и 'Фньют таковы, что в случае расходящейся ВОЛНЫ я|)реакц вызывает в источнике внутренние силы, которые извлекают энергию из него. Это — «силы реакции излучения». В случае сходящейся волны относительные фазы сдвинуты на я и я|)реакц нагнетает энергию в источник.
Ситуация в электромагнитной теории и в общей теории относительности совершенно аналогична *). В электродинамике
*) Нелинейность ОТО отличает гравитационный случай от электромаг-
нитного и скалярного; но эти различия не важны для нашего обсуждения. Среди наиболее интересных отличий следующее: в схеме пост-ньютоновских (56
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. 1
аналогичный аргумент был использован Лоренцем (1915) для вычисления реакции излучения на ускоренный классический электрон (см. также Джексон, 1962, § 17.3).
В общерелятивистском случае ньютоновская метрика в ближней зоне непосредственно сшивается с метрикой для стоячей волны и волновой зоне. Если волна является расходящейся, то в ближней зоне метрика должна содержать также члены, обязанные реакции излучения, которые не совпадают по фазе с ньютоновскими членами и меньше их в (у/с)5 раз. Эти члены в комбинации с ньютоновскими, будучи продолженными в волновую зону, дают метрику расходящейся волны. Форма тормозящих членов в близкой зоне полностью определяется условием расходящейся волны.
