Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку мы интересуемся только частью поля, меняющейся со временем, это уравнение можно проинтегрировать и получить A22 = — вследствие чего тензор Римана зависит лишь от двух независимых компонент Aifc: A23 и A22 = — A33. Отсюда следует, что в гравитационной волне подходящим выбором координат всегда можно обратить в нуль все компоненты Aifc, кроме A22, A23 и A33. Это указывает на «поперечный» характер гравитационных волн.
Рассмотрим, как меняется относительное расстояние двух пробных частиц при прохождении гравитационной волны. Из (1.6.1а) следует, что если Aoi == 0, то линии Xа- = const суть геодезические, т. е. пробные частицы, неподвижные относительно данной системы в начальный момент, будут неподвижны все время. Таким образом, изменение расстояний между этими частицами обусловлено только деформациями самой системы, т. е. зависимостью Aa^ только от времени.
Учитывая соотношение A22 = — A33, получим для расстояния между двумя близкими частицами
dl2 = (dx1)2 +(1 + A22) (dx2)2 + (1- A22) (dx*f + 2A23d*W .(1.12.4)
причем
д2Ы 2
d*h33 _ 0 dt2 -" u<
(1.12.3) 56
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
Из этого уравнения следует, что расстояние между двумя частицами вдоль направления распространения волны (dx1 Ф О, dx2 z=z dx3 = 0) остается неизменным во времени. Частицы, расположенные в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, испытывают наибольшее относительное ускорение. Для таких частиц, используя полярные координаты с началом в одной из частиц, можно записать (х2 = rcos0, х1 = = г sin 0)
l=r\i + A22 cos 20 + -І- A23 sin 20) . (1.12.5)
Таким образом, гравитационные волны действительно поперечные и определяются, с учетом (1.12 3), двумя величинами: A23 и A22 — A33.
Подчеркнем, что в волне (как ц? в любом гравитационном поле) можно измерять только относительные ускорения, т. е. разности гравитационных полей.
Две компоненты в волне, A23 и A22 = — A33, определяют два состояния поляризации. Однако, в отличие от электромагнитной волны, где независимое состояние поляризации определяется вектором колебания электрического поля, здесь поляризация носит тензорный характер. На рис. 3 изображено движение в полностью поляризованных электромагнитной и гравитационных волнах пробных зарядов-и масс соответственно.
В электромагнитной волне показаны смещения относительно нейтральных частиц, остающихся в покое на пунктирной окружности. Для гравитационной волны «нейтральных» частиц нет! Здесь измеримы только относительные смещения — превращения круга в элипс. Рис. 3а и 3б соответствуют плоско-поляризованной электромагнитной волне и аналогичному состоянию поляризации тензорной волны. В линейной теории можно складывать решения с произвольными коэффициентами. Сложим решение рис. За, начиная с третьей строчки, смешением рис. 36, начиная с четвертой строчки. Получим для электромагнитной волны смещения: ? = 0 — вверх; t = 774 — вправо;^ = Tl2 — вниз; t = 3774 — влево (Т — период), т. е. вектор электрического поля вращается по часовой стрелке, такая суперпозиция плоско-поляризованных волн описывает поле волны с круговой поляризацией. Точно так же, складывая (3а) и (36) для тензорного случая, можно получить картину, в которой характерный эллипс вращается (см. рис. Зв). Таким образом конструируется гравитационная волна с круговой поляризацией без выделенных осей, но с выделенным направлением вращения. В ряде случаев например, при гравитационном излучении двойной звезды (см. ниже) гравитационные волны уносят не только энергию, но и вращательный >
и
а
НЭ
а
о И W о н
а
со
а <<
л н W S
Рис. 3. Смещение пробных зарядов одинакового знака в поляризованной электромагнитной волне (на всех рисунках слева от вертикальной черты) и пробных частиц в поляризованной гравитационной волне (справа от вертикальной черты). До начала прохождения волны заряды и частицы расположены на окружности. Каждый рисунок показывает последовательные положения зарядов и частиц, разделенные по фазе на 90°.
а) Линейно поляризованная волна одного состояния поляризации, б) Линейно поляризованная волна второго независимого состояния поляризации, в) Волна, поляризованная по кругу. 58
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
момент. В этих случаях излучение имеет (хотя бы частично) круговую поляризацию.
Картина смещений пробных тел в гравитационной волне (рис. 3) определяет принципиально возможные способы приема таких волн.
Первый вариант — два свободных тела и измерение периодической компоненты в законе изменения расстояния между ними.
Второй вариант — два тела, соединенных упругим элементом. Если этот упругий элемент мешает телам изменять свое расстояние так, как это делали бы свободные тела, то в упругом элементе возникают напряжения, которые и измеряются; система в целом может иметь собственную частоту, равную частоте волн — при этом возникает резонанс (см. § 15 этой главы).
Наконец, возможен прием с помощью вращающейся пары тел или одного тела, вращающегося вокруг закрепленной оси. [Брагинский, Зельдович, Руденко (1969)]. Легко проследить с помощью рис. 3, что при скорости вращения, соответствующей половине оборота за один период гравитационной волны, пара тел будет систематически набирать или отдавать энергию и момент (знак эффекта зависит от соотношения фаз).
