Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь взаимодействие гравитационной волны с веществом, непрерывно распределенным в пространстве, в объеме размером много большем длины волны.
Здесь необходим иной подход, соответствующий однородности распределения вещества, взаимодействующего с волной. Гравитационная волна создает в среднем однородные (по пространству), но анизотропные по направлению деформации вещества. Поглощение гравитационной волны легко найти, подсчитывая работу сил вязкости при заданной деформации (Хоукинг (1966), Мизнер (1967)). При вязкости fx энергия, диссипируемая в единице объема в единицу времени, равна с точностью до множителя порядка единицы
q = pk2®2. (1.16.13)
C3Zi2CO2
Сравнивая это выражение с потоком энергии F = —^— , найдем длину, на которой энергия волны упадет в е раз:
l^t = W- (1Л6Л4>
Подставим вязкость воздуха 2-Ю"4 (не зависящую от плотности!). Получим L4 = IO42 см — величину, бессмысленно большую даже по космологическим масштабам.
Для того чтобы получить полную картину распространения гравитационной волны в среде, надо еще найти показатель преломления. Преломление (изменение фазовой скорости волны) есть результат интерференции проходящей волны и волн, испущенных средой, по которой идет исходная волна *).
Здесь необходимо вернуться к «первым принципам», к исходному уравнению для излучения гравитационных волн. Как известно [см. Ландау, Лифшиц (1967)], уравнения тяготения для этого случая могут быть записаны в виде
Y ? Aifc = (Ta - 4 ; (1.16.15)
здесь Tik — тензор энергии — импульса источника поля. Если в движении источника существенно гравитационное поле, то оно должно быть включено в Tik; см. далее.
Согласно этому уравнению источником гравитационной волны, несущей A22 и A33 (возмущение метрических коэффициентов при
*) Очевидно, что интерференция происходит только с той частью испу-щецной волны, которая распространяется вперед, § 16]
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
81
dy2 и dz2), являются переменные во времени компоненты тензора энергии — импульса — натяжений по этим осям.
Выше (см. § 11 гл. 1) для излучения волн применялись формулы, в которые входит — производная квадрупольного момента системы. Формулы действительно удобны для рассмотрения обособленной системы, размер которой меньше длины волны. Но и в этом случае не надо забывать, что формулы с Kitt вторичны! Первичными являются T22 и Ts3 как источники волнового поля. Говоря схематично, произведение T122 Sxz (Sxz — площадь элемента
сечения) или интеграл J T22Clxdz есть полная сила Fy, действующая вдоль оси у. Соответственно скорость изменения импульса каждой половины системы равна Fy; интеграл J Fydy = J T22dx dz dy =
= J T22dV удается свести к производной от J py2dy, т. е. связать с квадрупольным моментом системы.
Однако исходная формулировка заключается в том, что для колеблющегося тела источником гравитационных волн являются упругие натяжения, т. е., в последнем счете,— анизотропные электромагнитные поля и анизотропное движение электронов внутри металла. Для двойной звезды источником является «натяжение» гравитационного поля, связывающего между собой эти две звезды. В ходе вращения это натяжение меняется с двукратным периодом. Не следует удивляться тому, что гравитационное поле (соответствующие компоненты псевдотензора этого поля) играет роль источников для другого гравитационного поля — для волн. Эта возможность заранее заложена в нелинейности уравнений ОТО.
Вернемся к нашей задаче и подставим в уравнение распространения в правую часть Tijc, создаваемые в веществе самой волной. Если эти Tik соответствуют вязкости и пропорциональны скорости деформации, получится уравнение вида
у D^ifc = -?^- pAifc = у (1.16.16)
решение которого описывает только затухание: при заданной амплитуде в начале координат убывание с расстоянием
Aifc = Aifc (х = 0) е-іо>Жа>с-і*-о,бас* (я > 0), (1.16.17) a в безграничном пространстве убывание с течением времени
Aifc = Aifc (t = °) (? > 0). (1.16.18)
Скорость убывания правильно дается элементарным расчетом, приведенным выше, и она ничтожна. Взаимодействие между волной и непрерывно распределенным веществом полностью отсутствует в важных случаях: 1) для вещества, состоящего из покоящихся (56
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. 1
пылинок. Очевидно, что Tik такого вещества имеет одну лишь компоненту T00 и эта компонента не изменяется при прохождении волны, так как A22 = — A33 и след тензора деформации равен нулю;
2) для вещества с P = или вообще с паскалевским тензором Ta? = Oa?P. Отметим, что этот результат содержится в знаменитой работе Лифшица (1946): в случае P = решение
для гравитационных волн соответствует скорости распространения равной скорости света и отсутствию затухания (сверх адиабатического ослабления). Сохранение паскалевского тензора при анизотропной деформации формально означает равенство нулю вязкости; физически это значит, что мгновенно восстанавливается термодинамическое равновесие. В астрофизике и, в частности в космологии, представляет интерес противоположный, бесстолкно-вительный случай. В этом случае по порядку величины можно предполагать, что T22 — P = -(T733 — Р) ж A22P. Действительно, при однородном сжатии всего пространства по одной оси и расширении по другой можно ожидать подобного изменения компонент импульсов всех частиц, что и приведет к написанному выше результату.
