Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
**) Число таких систем в каждой точке — оо6. В такой системе в данной
d^ik
точке не только ds2 имеет галилеев вид, но и все —г = 0. КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВА — ВРЕМЕНИ
33
ленном пространстве — времени, очевидно, не может быть прямых линий; аналогами их являются геодезические линии).
Обратимся теперь к математическим средствам описания кривизны четырехмерного пространства — времени. Эта кривизна характеризуется тензором четвертого ранга:
дТ^і • • п
Rklm — —1----Ь ^nlTKm — KnTkl. (1.7.1)
дх1 дхт
Тензор Elim носит название тензора кривизни Римана. Геометрический смысл этого тензора состоит в следующем. Пусть вектор из некоторой точки скользит вдоль малого замкнутого контура, составленного из геодезических линий так, чтобы составляющие вектора по ортогональным координатным осям в каждой точке были при малом продвижении неизменны (параллельный перенос вектора). В плоском пространстве — времени при возвращении в исходную точку вектор совпадает с первоначальным; в 'искривленном — ориентация вектора изменится (при неизменной длине!). Изменение компонент вектора Ak при обносе по контуру, огибающему малую двумерную поверхность Aflmi описывается формулой
ДAlt = ± BhmAiAfЧ
Мы не будем здесь останавливаться на алгебраических и дифференциальных свойствах тензора кривизны. Отметим только, что число его независимых компонент равно 20 *).
Из тензора Римана путем операции свертывания (см. § 5 этой главы) можно получить тензор второго ранга:
Rkm — Rklmgi = Rkim- (1.7.2)
Этот тензор симметричен;
Rkm = Rmki (1.7.3)
он носит название тензора Риччи. Наконец, свертка Riem дает скаляр кривизны пространства:
R = Rkmgkm = Rl (1.7.4)
*) Для трехмерного пространства число независимых компонент равно шести, что и позволяет, как отмечено на стр. 25, характ'еризовать его кривизну сферическим избытком трех ортогональных площадок. Ориентация в трехмерном пространстве трех взаимно ортогональных площадок + 3 кривизны дают шесть компонент. 35 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА [ГЛ. і
Тензор Rum полностью характеризует кривизну 4-мерного пространства — времени. В частности, равенство этого тензора нулю в некоторой области Rhm = 0 есть необходимое и достаточное условие того, что пространство — время в данной области неискривленное (плоское).
Равенство нулю скаляра R = 0 и даже тензора R^ = 0 еще отнюдь не достаточно для того, чтобы пространство — время было плоским. Более того, поле тяготения вне материи как раз описывается уравнением Rili = 0. Классификацию полей тяготения по алгебраическим свойствам тензора кривизны см. в книге Петрова (1966)
§ 8. Уравнения тяготения Эйнштейна и уравнения движения
Уравнения Эйнштейна определяют связь между кривизной пространства — времени и распределением и движением вещества и полей. Они записываются в виде *)
Rib-^rSibR= ^r Tik. (1.8.1)
Здесь % = 8nG/c2 — постоянная тяготения Эйнштейна, Tik — тензор энергии-импульса, зависящий от распределения и движения вёщества и электромагнитного поля (в принципе, и других полей). Для газа этот тензор в криволинейных координатах записывается в виде
Tik = (в + Р) UiUii - Pgik. (1.8.2)
Здесь 8 = рс2 — плотность энергии вещества (включая и массу покоя частиц) в той системе отсчета, в которой элемент вещества покоится; P — давление. Мы считаем вязкость газа малой и пренебрегаем также потоком энергии относительно вещества по сравнению с рс3.
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет вид
ТІк = - W SimFilFlcm + ^FlmFlm, (1.8.3)
где Fim — тензор электромагнитного поля.
Выпишем явный вид тензора (1.8.2) для газа в локально лоренцевой системе координат, в которой покоится газ:
6 ООО
т _ ор о о ік~ 0 0 P о ООО P
*) О так называемом А члене в уравнениях Эйнштейна см. § 9 этой главы. 35 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
В этой системе Toa = Ta0 = 0, потому, что нет потоков энергии и равен нулю импульс газа. Пространственная часть тензора ди-агональна = -Poa» давление одинаково по всем осям. Принято называть этот факт законом Паскаля; говорят о паскалевой жидкости или газе.
В лоренцовой системе для магнитного поля> направленного вдоль оси ос1 = X (так что Hy = Hz = О, E = 0), тензор энергии импульса записывается в форме (частный случай (1. 8. 3.))
е ООО
Тік =
0 -8 о о
0 OeO 0 OOe
H2
где 8 — g^--плотность энергии. По оси х действует отрицательное давление (натяжение), равное T11 = — е, по осям у ж z действует положительное давление равное е. Если поле направлено НЄ ПО определенной ОСИ, а ПРОИЗВОЛЬНО, ТО B Toi? появляются недиагональные компоненты. Однако след T^ (равный — T11 — — T22 — Tss в декартовых координатах) остается инвариантным.
Для хаотического магнитного поля, усредняя тензор энер-гии-импульса по масштабам, значительно превышающим размер неоднородностей, получаем
е 0 0,0 0 8/3 0 0 0 0 8/3 0 0 0 0 8/3
т. е. в среднем имеет место «паскалевость», хаотическое поле, подобно газу, но со специальным уравнением состояния P = = е/З. pf
Релятивистские частицы, движущиеся со скоростью света в положительном направлении оси х, дадут тензор
