Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Если угловая скорость диска меняется со временем, то меняются и геометрические свойства его различных частей.
Подведем итог. Уже в обычном (и привычном) плоском пространстве — времени с телами, движущимися ускоренно, нельзя связать жесткую систему пространственных координат, в которой выполняется трехмерная геометрия Евклида и течет единое время, как это можно сделать с телами, движущимися по инерции. За исключением специальных случаев (например, равномерно вращающийся диск), любая система отсчета будет с течением времени деформироваться, ее геометрические свойства (как говорят, свойства сопутствующего пространства системы отсчета) будут меняться так же, как и ход связанных с ней часов.
В ньютоновской физике жесткая декартова система отсчета могла быть задана положением в каждый момент начала отсчета и ориентацией осей. В релятивистской теории, в инерциальной системе СТО, ситуация не меняется, но при неинерциальном движении, чтобы определить систему отсчета, надо задать не только движение и повороты одного ее участка (начала отсчета), но и всех других участков. Таким образом, системой отсчета
Рис.2. К синхронизации часов на вращающемся диске (см. текст). 21 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
является совокупность пробных частиц (с каждой из которых связаны часы), заполняющих всю интересующую нас область пространства и движущихся по нашему произвольному выбору.
Аналогичная ситуация имеет место и в ОТО. Различие заключается в том, что в СТО в отсутствие полей тяготения всегда можно перейти от неинерциалыюй системы отсчета к инерциаль-ной и пользоваться ею во всей интересующей нас области пространства — времени. В ОТО этого сделать нельзя вследствие кривизны пространства — времени.
Обратимся теперь к математическому выражению указанных выше особенностей. Все формулы, которые мы получим, будут справедливы не только в плоском пространстве — времени, но и в искривленном пространстве — времени общей теории относительности, так как они формулируются локально, а в силу принципа эквивалентности гравитационное поле локально неотличимо от ^ускоренной системы отсчета.
§ 4. Измерение времени и пространственных расстояний
В инерциальной системе отсчета СТО не обязательно пользоваться декартовыми пространственными координатами. Можно использовать любые криволинейные координаты, например, сферические. В общем виде преобразование от одних пространственных координат к другим записывается в виде
я* = яа(х\ X3). (1.4.1)
Здесь индекс а пробегает значения 1, 2, 3, а ос у ос , ос 3 обозна чают три пространственные координаты.
Выражение для ds2 примет теперь вид, отличный от (1.2.1). Вместо последних трех квадратов дифференциалов декартовых координат будет стоять выражение квадрата элемента пространственного расстояния в криволинейных координатах (взятое с обратным знаком). В сферических координатах это будет — dl2 = = — (іdr2 + r2<202 + r2sin20 • dqp2), и интервал запишется в виде
ds2 = (cdt)2 — dr2 — rW — г2 Sin2Gdcp2 . (1.4.2)
В цилиндрических координатах
ds2 = (cdt)2 - dr2 - r2dq>2 - dz2. (1.4.3)
Преобразование (1.4.1) означает, что мы от одной 3-мерной пространственной сетки координат перешли к другой, но система отсчета (см. § 3 этой главы) осталась прежней. При переходе к иной системе отсчета, произвольно движущейся относительно инерциальной системы, преобразование координат содержит уже § 4І ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ Й ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАССТОЯНИИ 21
время
^ = ^(?1, X2, X3y t). (1.4.4)
Латинские индексы пробегают значение (0, 1,2,3).
Пространственная часть = 1, 2, 3) этого преобразования полностью определяет движение новой системы отсчета. Индекс «О» относится ко времени. Временная часть (і = 0) преобразования (которая включает в себя не физическое, а координатное время; см. ниже) может быть произвольной; она определяет лишь способ отсчета координаты времени и в этом смысле не существенна. О связи между координатным и физическим временем см. ниже.
Переход к рГавномерно вращающейся системе отсчета записывается в виде (й — угловая скорость)
X1 = X1 cosШ — X2 sinQ^,
?2 = ?1 s[nQt + ?2 cos Qt^ (1.4.5а)
X3 = X3
или в цилиндрических координатах
г = 7, Z = I9 ф = ф + Ш. (1.4.5Ь)
Символ t будет сохранен для обозначения координатного (не физического!) времени в новой системе отсчета. Способ отсчета координаты времени при (1.4.5а, Ь) мы никак не меняли, т. е.
Xq == t.
Теперь, подставляя (1.4.5а) в (1.4.3), мы видим, что в общем случае меняется все выражение для ds2:
ds2 = (с2 - Q2T2) dt2 - 2QreApdf - dz2 — r2d^2 - d72 (1.4.6)
Теперь квадрат интервала является некоторой общей квадратичной формой:
ds2 = gikdxidx*. (1.4.7)
Здесь (и в дальнейшем) по дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование: латинские индексы пробегают значение 0, 1, 2, 3; X , X , X 3 обозначают пространственные координаты (вообще говоря, криволинейные), х° = et — координата времени: gh — функции координат и времени. При і =f= к каждое слагаемое с произведением одинаковых дифференциалов входит в сумму дважды, например, ^01 dx°dx1 и g10dx1dx°. По определению, всегда считается gik = gh\.
