Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
t2 = I2 — г2/с2, гщ = Ir/et, 0 = 0, ф = ф.
Эти формулы легко получить из следующих соображений. Для каждой частицы имеем г = Vt1 где v — постоянная скорость частицы. Можно выбрать v в качестве лагранжевой координаты. Однако удобно в качестве такой координаты выбрать не само Vy
а величину я|) = arth — = arth-4r . Кроме того, согласно лоренце-
с Ct _
вой формуле для сокращения времепи t = t j/"l--== ]/12 —^r.
Таким образом,
'--7=— .—
t = г|) = arlh-4r , 0-0, ф-ф.
Подставляя эти преобразования в ds2 = c2dt2— dr2 — г2 (dd2 + + sin20cftp2), получаем выражение для ds2 в системе Милна: ds* = d (et)2 — (et)2 [dxP2 + sb2i|)(d02 + sm20cfcp2)].
В фиксированный момент времени проведем через начало координат экваториальную плоскость O = я/2. Очевидно, 'отношение
длины экватора I = 2nc^shi|) к диаметру d = 2 tyct равно d г|) ^
Заметим, что если в данном месте поверхности отношение длины малой окружности к диаметру l/d меньше я, то кривизна поверхности положительна и геометрия подобна геометрии на сфере. Если же l/d^> я, то кривизна отрицательна и геометрия подобна геометрии на псевдосфере (седлообразной поверхности).
Численно кривизна поверхности характеризуется квадратом радиуса кривизны а2, который определяется следующим образом. На поверхности чертится малый треугольник, стороны которого — кратчайшие линии (геодезические). Обозначим через 2 сумму углов треугольника. Можно доказать, что разность 2 — л пропорциональна площади треугольника S:
2-я = CiSr.
Коэффициент пропорциональности (Г носит название кривизны, а величина а = 1 /с,/а — радиуса кривизны. Если 2 я, то с = § 5] !ВЕКТОРЫ, ТЕНЗОРЫ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 25
-= i/a2 ^> О, т. е. кривизна положительна. Если S > я, то с = = і/а2 0, т. е. кривизна отрицательна, а — мнимо. Чем меньше I а2 тем больше кривизна, и геометрия сильнее отличается от евклидовой.
Кривизна 3-мерного пространства в данной точке находится следующим образом. Через точку проводится геодезическая поверхность (аналог плоскости в евклидовом пространстве) и определяется ее кривизна. Эта кривизна называется римановской кривизной пространства в данном двумерном направлении. В разных направлениях кривизна может быть разная. Кривизна, усредненная по всем направлениям, носит название гауссовой кривизны пространства. Формулы для вычисления кривизны в общем случае мы выписывать не будем. Для важпых частных случаев формулы даны в конце § 8 этой главы.
Нетрудно понять математическую причину неевклидовости
3-мерной геометрии в неинерциальной или нестатичёской системе отсчета в плоском 4-мерном пространстве — времени. Когда рассматривается 3-мерное пространство инерциальной системы, это означает сечение 4-мерного пространства — времени «плоской» 3-мерной гиперповерхностью. Пространство 3-мерной неинерциальной (или нестатической) системы является искривленным сечением 4-мерного пространства — времени. Неудивительно, что геометрия этого искривленного сечения неевклидова. Ситуация полностью аналогична геометрии на искривленной двумерной поверхности в обычном (плоском) 3-мерном пространстве. ^Несмотря на то, что это пространство плоское, геометрия на кривой поверхности неевклидова.
§ 5. Векторы, тензоры и геодезические линии
В СТО вводится понятие 4-мерного вектора (4-вектора) Bi как совокупности четырех величин (функций координат и времени), которые при преобразовании Лоренца преобразуются как коор-
dx*
динаты Xі. Примерами 4-вектора являются 4-скорость иг = ,
4-импульс или 4-потенциал электромагнитного поля Ai. 4-тен-зор второго ранга BiH определяется как совокупность величин, преобразующихся при преобразовании Лоренца как произведение координат XiXk. Примером 4-тензора является тензор электромагнитного поля
ik Bxi Эх* '
По аналогии с тензором второго ранга вводится понятие тензора третьего и более высоких рангов. 26 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА [ГЛ. і
В инерциальных системах СТО пользуются галилеевьгми координатами, в которых интервал записывается в виде (1.2.1). При переходе к криволинейным координатам в 4-мерном пространстве понятие тензора и вектора обобщаются. Прежде всего вводится понятие ковариантных и контрвариантных компопент вектора.
Контрвариантным 4-вектором называется совокупность величин Bi (с индексом вверху), которые при преобразовании координат Xі ~ х1(х°, Xі, Xs) преобразуются по закону
Bi = ^rB*. (1.5.1)
дхк 4 '
Контрвариантным вектором является, например, совокупность
дифференциалов координат dx1, поскольку dx% = ^rdxlt.
dx
Ковариантные компоненты того же вектора Bi (с индексом внизу) определяются следующим образом:
Bl = UikB*. (1.5.2)
Из определения giK как коэффициентов в (1.4.7) следует закон
дх1 дхт ~
их преобразования gik = -^j- -^y glm. Используя этот закон и
(1.5.2), находим закон преобразования для ковариантных компонент вектора:
Яг* Ягт ~ Яг?с ^ fir1 ^
По аналогии обобщается понятие тензора: для контрвариантного тензора Bi1t
для его ковариантных компонент
Bik = gugmkBlm = ^r (1.5.5)
