Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
между фазами с разными кристаллическими структурами, но с одинаковыми
плотностями. Интересно отметить, что при плавлении плотность металлов
существенно не меняется; рассмотренный выше подход настолько
нечувствителен к структурным свойствам, что он в равной мере применим к
жидкому металлу, который можно рассматривать крайне упрощенно как
случайный компактный набор сферических ионов, удерживаемых вместе "клеем"
свободных электронов.
§ 4. Модель жестких зон и плотность состояний.
157
Существует, однако, физическое явление, которое позволяет
проиллюстрировать принцип, определяющий структурную энергию твердых тел.
Рассмотрим следующую таблицу:
Структура Объемноцентриро-ванная кубическая "7-латунь" Гексагональная
плотная упаковка
AgZn Ag5Zn8 AgZn3
Сплавы Cu3Al CU9AI4
Cu5Sn Cu31Sn8 CU3SII
Электроны 3 -1 5 1,615 4-" 1,75
Атом 2 13 4
В каждом столбце приведен ряд сплавов с одинаковой структурой основной
решеткц, причем каждый сплав существует в виде стабильной устойчивой фазы
более или менее определенного состава. Что же общего между ними? В нижней
строке указано отношение числа валентных электронов к числу атомов в
решетке, постоянное для каждого столбца. Так, в Си9А14 имеется 9
электронов от атомов Си и по 3 электрона от каждого из 4 атомов А1, что
составляет всего 21 электрон на 13 атомов.
Этот пример иллюстрирует правило Юм-Розери, часто трактуемое на основе
модели жестких зон в теории сплавов. В последней полагается, что все
валентные электроны составляющих элементов обобществляются, попадая в
единую зону почти свободных электронов - примерно такую же, как в обычном
чистом металле (см. § 3 гл. 3). Так, например, в гипотетическом сплаве
состава Cu3iSn8 оказалось бы по 1,615 электрона на атом.
Допустим теперь, что структура зоны Бриллюэна данного сплава зависит от
симметрии основной кристаллической решетки и слабо зависит от природы
атомов, занимающих узлы решетки. Тогда оказывается, что для структуры у-
латуни эта зона должна быть таких размеров и такой формы, что она будет
как раз касаться сферы, отвечающей свободным электронам. При этом радиус
последней таков, что она включает по 1,615 электрона на атом. Поэтому в
подобных веществах поверхность Ферми, по-видимому, касается границы зоны
на довольно значительной ее части, но, вероятно, не проникает сквозь нее
в следующую зону (фиг. 80). Поскольку энергия состояний, находящихся
внутри зоны вблизи ее границы, меньше энергии свободных электронов с тем
же волновым вектором, возникновение подобной металлической структуры
связано с выигрышем в энергии связи. Данное объяснение кристаллической
структуры многих чистых металлов и различных фаз сложных сплавов очень
изящно и нередко расценивается как
158
Гл. 4. Статические свойства твердых тел
одно из триумфальных достижений электронной теории металлов. К сожалению,
имеются определенные возражения против использования модели почти
свободных электронов применительно к таким металлам, как Gu, Ag и Аи, для
которых поверхность Ферми (уже в чистом металле) касается границы зоны
(см. § 4 гл. 9). Теоретическое обоснование самой модели жестких зон
также-
а 6
Фиг. 80. а - поверхность'Ферми касается границы зоны; 6 - энергия
понижается по сравнению со случаем свободных электронов; в - уровень
Ферми проходит вблизи максимума плотности состояний.
подвергается некоторому сомнению (см. § 3 гл. 5), несмотря на
убедительные свидетельства в пользу наличия "эффектов границ зоны" в
различных частных случаях.
В сущности, мы утверждаем следующее: осуществляется такая структура, при
которой уровень Ферми проходит вблизи верхней границы той области
энергий, где велика плотность состояний. Последняя функция уже была
введена ранее [см. (4.3)] для газа свободных электронов. Чтобы вычислить
для реального
§ 3. Статистика Ферми для электронов
159
металла, нужно определить величину объема, заключенного между соседними
изоэнергетическими поверхностями в зоне Бриллюэна. Это задача в точности
того же типа, что и расчет спектральной плотности для колебаний решетки в
§ 5 гл. 2.
Так же как и там [см. формулы (2.66)-(2.69)], можно написа.ть
-<"(r)=4жй5т|г (4-6)
Мы ввели здесь вектор размерности скорости
(4.7)
т. е. градиент энергии в k-пространстве. В формуле (4.6) абсолютная
величина этого вектора интегрируется по изоэнергетиче-ской поверхности,
соответствующей энергии Щ.
Так как функция Щ (к), подобно vq, непрерывна в обратном пространстве и
периодична с периодом обратной решетки, то теорема Ван Хова в применении
к пей остается в силе. Действительно, поскольку функция Ш(к) обычно не
имеет кратного корня в центре зоны [область акустических ветвей в случае
vq], то среди сингулярностей Ш (к) должны встречаться критические точки
всех четырех типов - максимумы, минимумы и седловые точки двух типов.
Вообще говоря, плотность состояний в металлах не слишком сильно
отличается от значений ее для свободного электронного газа, за
