Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
металла, например натрия. Каждый атом содержит один валентный электрон,
связанный (с наименьшей энергией Ша) в поле атомного потенциала иа (г).
Вне атомного остова этот потенциал имеет кулоновский вид -е2/г. Потенциал
кристалла У (г), действующий на электрон проводимости в твердом металле,
описывается, очевидно, гораздо более сложной функцией, нежели
Фиг. 78. Модель Вигнера - Зейтца для расчета энергии связи.1 а -
одноатомный газ; б - металл,
простая суперпозиция кулоновских потенциалов. Действительно, в потенциал
У (г) должны давать вклад и все "остальные" электроны проводимости.
Предположим, однако, в качестве грубого приближения, что выделенный
электрон за счет действия сил электростатического отталкивания временно
выгоняет все остальные валентные электроны из той ячейки Вигнера - Зейтца
(§ 5 гл. 3), в которой он сам находится. В то же время во всех остальных
ячейках кристалла есть электроны, которые делают эти ячейки строго
электронейтральными. Другими словами, эффекты перекрытия атомных
потенциалов, корреляции электронов и т. д. учитываются выбором потенциала
У (г): мы получаем его равным иа (г) при г ^ rs в каждой ячейке (фиг.
78).
Очевидно, что на фактической границе атомной сферы такая аппроксимация
будет плохой. И все же средняя потенциальная энергия электронов в
кристалле окажется существенно пониженной. Говоря точнее, применение
метода Вигнера - Зейтца показывает, что дно зоны проводимости % (0)
должно лежать немного ниже энергии барьера между атомами, т. е. на
некотором уровне ниже энергии - e2lrs. Таким образом, уменьшая г$, мы
выигрываем в потенциальной энергии.
Для случая свободного электронного газа расчет вклада, приводящего к
отталкиванию, тривиален. В самом деле, из формул § 1 гл. 3 легко
усмотреть, что плотность состояний (число дозво-
§ 3. Энергия связи
155
ленных состояний на единичный интервал энергии) дается выражением
= (4-3>
где п - концентрация электронов, a %F - энергия Ферми. Отсюда вытекает,
что
N (g) ~ Ш1'2, (4.4)
и, следовательно, средняя энергия на один электрон будет
Эта величина, очевидно, пропорциональна 1 !г\.
Складывая найденные выше два вклада в полную энергию, как показано на
фиг. 79, мы обнаружим минимум при некотором зна-
Фиг. 79. Вклады в энергию связи металлов как функции межатомного
расстояния.
чении rs. Это значение rs и нужно считать атомным радиусом в реальном
металле; оно должно дать нам разумную оценку полной энергии связи.
Результаты, получаемые таким грубым путем, дают по крайней мере
правильный порядок величины. Это показывает, что общий ход наших
рассуждений в принципе правилен.
Интересно заметить, что во всех щелочных металлах энергия связи очень
близка к 2/ъЩр. Из этого эмпирического факта и из равенства (4.5) мы
заключаем, что уровень Ферми в металле приблизительно совпадает с
энергией того уровня изолированного
156
Гл. 4. Статические свойства твердых тел
атома, из которого предположительно возникла зона проводимости. Именно
этого и следовало ожидать на основании метода JIKAO и формул типа (3.30)
для зоны, заполненной наполовину. Таким образом можно было бы предложить
и другое объяснение энергии связи металлов, связав его со способностью
электронов переходить в блоховские состояния парами, причем в каждой паре
спины электронов антипараллельны друг другу. При таком переходе электроны
не "штрафуются" увеличением их электростатической энергии, что произошло
бы в случае отдельных атомных орбит.
Характер сил связи влияет на упругие и пластические свойства твердых тел.
Ковалентные кристаллы бывают жесткими и хрупкими, так как направленный
характер связей препятствует сдвиговому движению, а также мешает
перемещению одного атома вслед за другим, как это имеет место при
движении дислокации в решетке. Ионные кристаллы гораздо более пластичны,
если они совершенно чистые (обычные кристаллы могут быть и хрупкими из-за
наличия внедренных в них дефектов). Электростатические силы -
ненаправленные, и потому ионы могут перемещаться с места на место в той
мере, в какой этому не мешают их размеры. Металлы оказываются наиболее
пластичными: в них возможно свободное перемещение дислокаций. Дело в том,
что фермиевская энергия электронного, газа уменьшается, если ионы
держатся дальше друг от друга. Соответственно энергия связи зависит в
основном от плотности упаковки, и система легко приспосабливается к
локальным отклонениям от строгой регулярности решетки.
§ 4. Модель жестких зон и плотность состояний
Почему многие металлы существуют в различных фазовых состояниях с разными
кристаллическими структурами и с изменением температуры испытывают
переход из одной фазы в другую? Энергия, связанная с тепловым
возбуждением кристалла, невелика - порядка 0,1 эв на атом. Разница в
энергиях различных структур должна быть мала. Действительно, в нашем
грубом подходе, изложенном выше и основанном на формулах, полученных по
методам Вигнера - Зейтца и сильной связи, невозможно установить различие
