Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
кристалла.
Как уже было показано [см. формулу (1.32)], объем зоны Бриллюэна равен
8n3/vc. Если в объеме V кристалла содержится N элементарных ячеек, то
vc = JT' (1-82)
Тогда на каждый разрешенный k-вектор в k-пространстве приходится объем
1 8я3 8я3
N iv У
(1.83)
Следовательно, в единице объема обратного пространства имеется V/8n3
разрешенных к-векторов.
Поскольку практически величина N очень велика, то распределение
разрешенных векторов можно рассматривать как непрерывное. Часто суммы* по
k-векторам заменяются интегралами
2^{'гк"тягШ'(tm)' {iM) к
причем однократный интеграл служит для краткого обозначения предела
суммы. Важно помнить, однако, что, когда мы переходим к фактическому
интегрированию в k-пространстве, необходимо учитывать весовой множитель
F/8jt3. Для простоты мы будем обычно предполагать, что объем V = 1. Тогда
N обозначает число ячеек в единице объема кристалла, a UN - объем одной
элементарной ячейки.
Результат (1.83) в действительности не зависит от выбора какой-либо
зонной структуры; этот результат хорошо известен в теории излучения и в
теории свободных электронов. Но тот факт, что зона Бриллюэна содержит
точно N разрешенных точек, iso многих случаях оказывается полезнее. Он
показывает, что эта зона существенно инвариантна и определяется только
структурой кристалла; увеличение размеров кристалла просто увеличивает
плотность состояний в к-пространстве.
42
Гл. 1. Периодические структуры
Следует, впрочем, признать, что условия Борна - Кармана невозможно
реально осуществить. В двумерном случае сеть ячеек, нанесенная на
поверхность тора, циклична в обоих направлениях, но для трехмерной
решетки выполнение всех трех условий невозможно при любой топологии. Во
всяком случае, эти условия прекрасно работают как математический прием,
и, кроме того, их можно обосновать с помощью несколько громоздких
расчетов. Дело в том, что плотность состояний асимптотически в пределе
больших квантовых чисел весьма нечувствительна к точному виду граничных
условий. До тех пор пока мы не собираемся изучать поверхностные эффекты
как таковые, циклические условия, несомненно, удобнее всех других.
ГЛАВА 2
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
Ибо такие хорошо упорядоченные движения и регулярные шаги хоть и не
слышимы, но, будучи поняты, кажутся исполненными гармонии.
Томас Браун
§ 1. Динамика решетки
Простейшее твердое тело - это, по-видимому, твердый аргон. Он состоит из
правильно расположенных нейтральных атомов с крепко связанными замкнутыми
электронными оболочками. Эти атомы удерживаются вблизи друг друга силами
Ван-дер-Ваальса, которые действуют в основном между ближайшими соседями в
решетке. Физические процессы в таком кристалле связаны с тепловым
движением атомов вблизи своих идеализированных положений равновесия.
Для простейшего описания такого движения используется модель Эйнштейна,
согласно которой каждый атом колеблется подобно простому гармоническому
осциллятору в потенциальной яме, образованной силами его взаимодействия с
соседями. Эти силы никогда не образуют точно квадратичной ямы со
сферической симметрией, но в среднем принятая аппроксимация все же
разумна. При этом спектр возбуждений кристалла состоит из уровней,
расположенных на расстоянии hvB друг от друга, где vE - эйнштейновская
частота, т. е. частота осцилляций каждого атома в своей потенциальной
яме.
Модель Эйнштейна может быть полезна, если достаточен лишь очень грубый
учет тепловых колебаний -особенно при относительно высоких температурах,
когда предположение о независимости колебаний различных атомов оправдано.
Сразу видно, однако, что если два или более атомов движутся в унисон, то
силы между ними, стремящиеся возвратить эти атомы в положение равновесия,
уменьшаются и, следовательно, квант энергии возбуждения будет несколько
меньше. Существует тенденция к корреляции движений соседних атомов.
Чтобы получить спектр всей решетки, нужно задать локальные силы и
полностью описать движение. Эта проблема была бы неразрешимой, если бы не
существовало свойство трансляционной инвариантности решетки. Как показано
в § 4 гл. 1, рассматриваемые возбуждения должны удовлетворять теореме
Блоха. Дина-
44
Гл. 2. Колебания решетки
мическая теория решетки представляет собой простейший пример применения
математического аппарата, развитого в гл. 1.
Определим прежде всего смещения решетки: смещение s-ro атома в I-й
элементарной ячейке из положения равновесия описывается вектором usi.
Пусть этот атом имеет массу Ms. Тогда кинетическая энергия системы есть
Мы рассматриваем сейчас наиболее общий случай решетки с базисом и поэтому
вводим индекс s, нумерующий атомы в элементарной ячейке.
Для написания потенциальной энергии нужно было бы задать межатомные силы.
Однако можно предположить с полной общностью, что существует некоторая
функция Т (us"), выражающая зависимость потенциальной энергии кристалла
от координат всех атомов, или, что то же самое, от мгновенных смещений
