Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
координат]. В полученном выражении явно выделено макроскопическое поле Е
(г), которое плохо ведет себя вблизи точки q = 0; остающиеся члены быстро
сходятся для всех значений вектора q и однозначно определяют локальное
поле (см. § 2 гл. 8).
Это локальное поле играет важную роль в динамике решетки ионного
кристалла, так как оно способно поляризовать сами ионы. Возникающие при
этом индуцированные диполи в свою очередь дают вклад в силы, действующие
на ионы. Их надо учитывать при составлении эффективного силового тензора
(2.4): центральное парное взаимодействие между точечными зарядами
оказывается недостаточным для описания экспериментальных данных. Начиная
с этого пункта теории, формулы выглядят довольно сложно, хотя и выводятся
для простой физической модели. В рамках последней каждый ион заменяется
массивной "сердцевиной" с зарядом, равным, например, е+, которая
взаимодействует с лишенной массы "оболочкой" валентных электронов с
зарядом е~. В такой оболочечной модели различные заряды и силовые
постоянные представляют собой нечто большее, чем просто удобные
подгоночные параметры, используемые для согласования спектра колебаний
решетки с экспериментальными данными: они отражают фактическое
существование в кристалле сил нецентрального и многочастичного типа.
В ковалентных или металлических кристаллах сходимость решеточных сумм
легко обеспечивается за счет сильного экранирования дальнодействующих
кулоновских полей положительных ионов валентными электронами (см. гл. 5).
Однако расчет спектра колебаний здесь усложняется из-за других типов
многочастичных сил. К числу их относятся, например, силы сопротивления
изгибу ковалентных связей (§ 2 гл. 4) или сжатию газа электронов
проводимости (§ 11 гл. 6). Для непроводящих кристаллов необходимо также
принять во внимание динамическую связь электромагнитного поля с полярными
колебаниями решетки, приводящую к образованию поляритонов (§ 3 гл. 8).
§ 4. Удельная теплоемкость решетки
Основное следствие из факта существования колебаний решетки состоит в
возможности их теплового возбуждения, что проявляется как вклад в
теплоемкость твердого тела. Чтобы вычислить ее, надо явно ввести вместо
классических координат usj и соответствующих им импульсов
квантовомеханические операторы. Все содержа-
60
Гл. 2. Колебания решетки
ние § 1 настоящей главы сводится к утверждению, что с помощью
канонического преобразования вместо этих координат можно
ввести новые переменные, описывающие систему независимых гармонических
осцилляторов. Отсюда явствует, что рассматргь ваемые возбуждения должны
подчиняться статистике Бозе - Эйнштейна: нормальному колебанию можно
сообщить любое число квантов энергии hv4, где vq - соответствующая
классическая частота.
Статистическая механика в этом случае утверждает, что в среднем имеется
ПЧ= ftVq/ftT " (2-46)
е 4 -1
квантов на колебания q-ro типа; соответствующий вклад в энергию есть
= (пч "Ь ~2 ) (2-47)
Здесь учитывается и энергия нулевых колебаний, которую
в дальнейшем будем опускать. Таким образом, средняя энергия всей системы
дается выражением
*=2-тжп- <2'48>
q в 4
где суммирование ведется по всем типам колебаний (т. е. не только по всем
различным волновым векторам, но и по всем поляризациям).
Поскольку q-векторы распределены в обратном пространстве с плотностью
У/8я3, эту сумму можно записать в виде интеграла; наконец, удельную
теплоемкость можно вычислить, дифференцируя полученный интеграл по
температуре:
Cv= 4-
2 <2-49> По'поляризации ' >
Это выражение можно формально упростить, введя спектральную плотность
колебаний решетки 3) (v) dv. По определению, величина 35 (v) dv есть доля
общего числа колебаний, приходящаяся на интервал частот от v до v + dv. В
случае структуры с п атомами в элементарной ячейке всего имеется 3nN
колебаний. Таким образом,
= Зам j <2'50)
При этом, однако, вся задача просто переносится на вычисление функции
3{v), которое может потребовать полного решения
§ 4. Удельная теплоемкость решетки
61
динамических уравнений, описывающих колебания решетки. Грубо приближенную
формулу можно получить в следующих предположениях:
1. Будем учитывать лишь акустические колебания, причем допустим, что
они характеризуются одинаковой скоростью звука:
Vq = sq. (2.51)
2. Зону Бриллюэна, в пределах которой находятся разрешенные значения
вектора q, заменим сферой того же объема в обратном пространстве.
Второе предположение означает, что существует максимальное волновое число
для колебаний решетки, так называемое дебаев-ское волновое число qD.
Дебаевская сфера аппроксимирует зону Бриллюэна. Радиус сферы легко
найти, замечая, что она должна
содержать точно N точек при плотности их в q-пространстве,
равной У/8 я3. Соответственно должно быть
N = 8лз"3 (2.52)
т. е.
(2.53)
q
Подобная аппроксимация часто применяется и в прямой решетке, ячейка
Вигнера - Зейтца замепяется сферой Вигнера - Зейтца с радиусом rs и с тем
же объемом
jnr3s=vc. (2.54)
