Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
^k(r)==eik,ruk(r) (1.60)
и будем надеяться, что функция uk (г) окажется почти постоянной.
Действительно, из формулы (1.58) следует, что функция (г) должна быть
периодической, т. е.
uk (г + I) = ик (г). (1.61)
Теорема Блоха формулируется именно в такой форме.
Появляющийся здесь множитель ехр (гк-Z) напоминает множитель exp(ig.Z),
который фигурировал при изучении периодических функций. Очевидно,
волновой вектор к имеет ту же размерность, что и вектор обратной решетки
g; он принадлежит, таким образом, к обратному пространству. Если
окажется, что некоторому состоянию отвечает волновой вектор g, то
соответствующая волновая функция будет периодической:
Ч>"(*+&) = в*,,'Ыг) = 'Ч>*(г), (1.62)
поскольку
еЫ'1= 1 (1.63)
для всех I.
Пусть теперь функции г|)к отвечает волновой вектор к, такой, что
k = g + k', (1.64)
где g - какой-либо вектор обратной решетки, а к' - новый волновой вектор.
Тогда из формул (1.58) и (1.63) получаем
"Фь (г+ I) = (г) = е'?-ге1к'-гт|)к (r) = eik'-fi|)k (г). (1.65)
Это множно выразить, сказав, что функция i|)k удовлетворяет теореме Блоха
так, как если бы ей отвечал волновой вектор к'. Первоначальное
обозначение к неоднозначно; каждой функции отвечает все множество
возможных волновых векторов, отличающихся друг от друга на векторы
обратной решетки. Это обстоятельство, разумеется, не противоречит
теореме; последняя утверждает просто, что каждой функции должен отвечать
по крайней мере один волновой вектор.
Таким образом, мы столкнулись с проблемой: как однозначно определить
волновой вектор, соответствующий данной функции? Можно было бы в качестве
ориентира взять представление (1.60) и попытаться подобрать к таким
образом, чтобы функция uk (г) по возможности меньше изменялась. Такой
подход, однако, про-
Я6
Гл. 1. Периодические структуры
изволен и даже, как это будет видно из дальнейшего, ошибочен. Правильная
процедура состоит в следующем.
Рассмотрим, что происходит в одномерном случае [ср. с формулами (1.8) -
(1.12)]. Аналог обратной решетки -это набор обратных длин решетки:
gn = n-^~. (1.66)
Данному состоянию можно приписать любое волновое число из набора
k=n-^ + k') (1.67)
иначе говоря, волновое число к определено лишь по модулю 2л/а. Все точки
к на фиг. 12 эквивалентны.
Приведенная зона Бриллюэна
1 1 1 1 1 1 9
к' 1 к i ... 1 1
-Zn/a -nja 0 nja 2nja 4nja
------9------
Фиг. 12. В одномерной обратной решетке все точки к приводятся к точке к'.
Естественно, в качестве представителя всех чисел к выбрать число к' с
наименьшим возможным абсолютным значением | к' |. Другими словами, мы
будем всегда выбирать для волнового числа то значение, которое лежит в
интервале
Очевидно, этот интервал совпадает с зоной Бриллюэна нашей одномерной
системы; он представляет собой элементарную ячейку обратной решетки. В
случае трех измерений мы делаем то же самое, а именно: выбираем волновой
вектор в первой зоне Бриллюэна в обратном пространстве. Из элементарных
геометрических соображений явствует, что это всегда возможно. Выберем
вектор g в формуле (1.64) так, чтобы величина j к' ( была наименьшей из
возможных, или, иными словами, чтобы точка к' лежала воз-
§ 5. Приведение к зоне Бриллюэна
37
можно ближе к началу координат в обратном пространстве. Это означает, что
точка к' должна лежать ближе к началу координат, чем к любому другому
узлу обратной решетки. Последнее равнозначно утверждению, что она лежит в
ячейке Вигнера - Зейтца рассматриваемой решетки, т. е. в зоне Бриллюэна.
Очевидно, любую точку к в обратном пространстве можно привести к
соответствующей точке в зоне Бриллюэна (фиг. 13). Поэтому любую волновую
функцию можно описать в схеме приведенных зон.
Фиг. 13. Все волновые векторы к приводятся к вектору к', который лежит
в зоне Бриллюэна.
Таким образом, любой волновой функции отвечает приведенный волновой
вектор. Может существовать, однако, много функций с одним и тем же
приведенным волновым вектором, но соответствующих различным энергиям.
Применение схемы приведенных зон не позволяет приписать каждой из этих
функций различные значения вектора к.
Интересно посмотреть, что происходит с собственными функциями свободного
электрона в пустой решетке. Пусть
где к' - приведенное значение истинного волнового вектора к. Это
выражение имеет вид (1.60), так как exp (ig-r) есть периодическая функция
в данной решетке; видно, однако, сколь искусственным оказывается такое
представление для плоской волны. Если энергия (в одномерном случае)
дается выражением
ф = eik¦г =5 еКк-б)TgigT - eik',T (е^'Т),
(1.69)
g(k)
Д2/с2
2m '
(1.70)
38
Гл. 1. Периодические структуры
то она оказывается многозначной функцией к' в приведенной зоне. На фиг.
14 часть параболы АВ при трансляции на вектор обратной решетки
передвигается в положение А 'В' (то же самое
Фиг. 14. Энергия свободного электрона в приведенной зоне.
имеет место для других частей параболы). Очевидно, в данном случае
наиболее естественна схема расширенных зон, в которой каждому состоянию
