Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отстоящей от начала координат на расстоянии d. Следовательно, если на
этой плоскости лежит хотя бы одна точка решетки, то на ней лежит и
бесконечное множество таких точек; мы построили одну из плоскостей
решетки. Очевидно, что доказанное соотношение между прямой и обратной
решетками есть лишь частный случай известной в трехмерной геометрии
взаимосвязи между совокупностями радиусов-векторов точек на плоскости и
нормалей к плоскостям.
2. Если компоненты вектора g не имеют общего множителя, то абсолютная
величина | g | обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями
решетки, перпендикулярными вектору g.
Это следует из формулы (1.25) (см. фиг. 8). Если числа (пи п2, п3) не
имеют общего множителя, то всегда можно подобрать вектор решетки I" так,
что
g-Z" = 2я (TV + 1). (1.28)
Это означает, что плоскость решетки, на которую попадает точка решетки с
вектором I", находится на расстоянии
d"= 2я(ЛГ + 11 (1.29)
I g I
от начала координат, т. е. отстоит на расстоянии 2я/ | g | от плоскости,
в которой лежит точка решетки с вектором I (фиг. 8).
§ 3. Свойства обратной решетки
25
Из этих двух элементарных геометрических результатов видно, что
простейший способ охарактеризовать плоскости решетки состоит в задании
нормалей к ним, выраженных через векторы обратной решетки. В прямой
решетке самыми заметными оказываются те плоскости, которые с наибольшей
плотностью заселены узлами решетки. Поскольку плотность узлов решетки
постоянна в пространстве, то самыми заметными должны быть те плоскости,
которые дальше всего удалены друг от друга, т. е. плоскости, отвечающие
наименьшим векторам обратной решетки.
Фиг. 8.
Обозначение плоскостей решетки с помощью соответствующих им векторов
обратной решетки эквивалентно применению индексов Миллера, обычных в
классической кристаллографии. Пусть имеется плоскость решетки с нормалью
g, такая, что для всех точек I на этой плоскости выполнено равенство
(1.24). Если взять на этой плоскости точку с компонентами 12 = 13 = 0, то
мы получим 1г = N/nlt так что при пересечении плоскости с осью ai на
последней отсекается отрезок длины
<*.= (-?-)<¦• (1-30)
Подобным же образом эта плоскость пересечет ось а2 на расстоянии
d2=(-^U (1.31)
от начала координат. Отрезки, отсекаемые рассматриваемой плоскостью на
координатных осях, измеренные в единицах длин соответствующих базисных
векторов, обратно пропорциональны целым числам пи п2, п3. Эти
целые числа после сокращения
на общий множитель и представляют собой индексы Миллера
данной плоскости (фиг. 9); их записывают в виде (щ, пг, п3).
26
Гл. 1. Периодические структуры
Очевидно, плотно населенные плоскости (т. е. плоскости с малыми
значениями индексов Миллера) как раз и есть те плоскости, которые легче
всего обнаруживаются в естественных кристаллах при росте кристаллов или
при их раскалывании. Изучение геометрии таких граней было существенно для
классической кристаллографии; при этом основное открытие состояло в
утверждении, что можно найти единственный набор векторов а1т а2, а3, при
котором все наблюдаемые в макроскопических кристаллах грани имеют малые
индексы Миллера.
Фиг. 9. Расстояние между плоскостями с большими индексами Миллера меньше,
чем расстояние между главными плоскостями симметрии.
Следует упомянуть о двух соглашениях относительно обозначений. Символ
(111) представляет плоскость (1, -1, -1); знак минус для краткости
пишется над числом. Символ с фигурными скобками {110} представляет все
различные плоскости, которые в силу симметрии эквивалентны плоскости
(110). Сюда относятся плоскости (101), (011), (110) и (110) и т. д.
3. Объем элементарной ячейки обратной решетки обратно пропорционален
объему элементарной ячейки прямой решетки.
Это следует из простых формул векторного анализа. Элементарная ячейка
обратной решетки представляет собой параллелепипед, построенный на
векторах 2nbx, 2itb2, 2itb3. Согласно формулам (1.19), ее объем будет
(2я)" (Ь,.[Ь2 х Ь3]) = (2я)" [а2ХазУ/.^х1^Х -- =
= (2я)
я ta2 X a3H{a3-[ai X а2]} at - {at-[at х а2]} а3]
(2я)3
8л3
(ai-[a2 X а3])8
ai-[a2Xa3]
(1.32)
§ 3. Свойства обратной решетки
27
где vc - объем элементарной ячейки, построенной на векторах аъ а2> а3.
Множитель 8я3 появился здесь в связи с нашим определением обратной
решетки. Чаще принято писать
eig.i = e2mKg.R i'
где R; - вектор решетки, а вектор Kg по определению считают вектором
обратной решетки с объемом элементарной ячейки, равным i/vc. Недостаток
такого определения состоит в том, что множитель 2я появляется в
экспоненте; это не согласуется также и с принятым обозначением волновой
функции свободного электрона
г|5 = е*'г. (1.34)
4. Прямая решетка является обратной по отношению к своей обратной
решетке.
Это подразумевается уже в названии и может быть оправдано путем
построения, например, вектора [Ьг X Ь2]/(Ь1 • [b2 X Ь3]) и доказательства
того, что он совпадает с вектором а3. Это можно усмотреть и из вывода
формулы (1.32).
