Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Мы знаем также, что любую периодическую функцию можно разложить в ряд
Фурье
/ (х) = 2 АпеЫ**1а, (1.7)
П
где п - целое число. Запишем это в виде
/(*) = 2V*'. (!-8)
8
где величины g взяты из набора обратных длин решетки х)
ёп = п^. (1.9)
Коэффициенты в (1.8), как хорошо известно, даются выражением
Л =4- J f{x)er4*dx; (1.10)
По ячейке
область интегрирования в данном случае будет, например,
0 < х ^ а - она должна совпадать с одной элементарной ячейкой
решетки. Простейшее доказательство того, что из выражения (1.8)
*) Множитель 2л удобно включить в это определение, хотя в кристаллографии
принято явно писать его в экспоненте.
22
Гл. I. Периодические структуры
следует условие периодичности (1.6), можно получить, воспользовавшись
равенством
e's1 = 1, (1.11)
справедливым для любого g и для всех трансляций I. Справедливость этого
равенства следует из того, что
2зт
gl =" п ha - п1\2я и" Целое число X 2it, (1.12)
если g принимает одно из разрешенных значений gn и I = 1±а. Вывод формулы
(1.10) также вытекает из равенства (1.11). Мы не рассматриваем здесь
патологические в математическом отношении функции и поэтому можем
свободно пользоваться наивной теорией Фурье.
Распространение этих теорем на структуру с тремя премоуголь-ными
координатными осями не представляет труда. Если в качестве таких осей
взяты а*, ау, аг и
/ (г + Т) = / (г + lxа* + ly&y + 1гаг) = / (г), (1.13)
то
/00= 2 А(ёх, gy, gz) exp{i(g*(r) + g"y + g,*)}, (1.14)
8xt iy< 8г
где каждое из чисел gx и т. д. есть обратная длина из набора
2пп/ах и т. д. Эти соотношения можно получить, представляя вначале
функцию / (г) в виде ряда Фурье по координате х и показывая затем, что
каждый коэффициент разложения есть периодическая функция у,
соответственно его можно разложить в ряд Фурье (аналогично рассуждаем и
для координаты z). Перепишем выражение (1.14) в виде
/(r)=SVig'r. (1.15)
s
где g есть вектор с компонентами (gx, gy, gz). Этот вектор обладает
свойством типа (1.11), т. е. для любого вектора
8' ^ = {gxlx&x "Ь gy^y^y "Ь gzlzaz) = ~ 1хах "Ь
их
Н---"--- 1у&у н------ lz<Lz = 2я X Целое число, (1.16)
каков бы ни был вектор I. Таким образом,
еЧ5,1"=1 (1^7)
для всех векторов решетки I и для всех векторов обратной решетки g.
§ 3. Свойства обратной решетки
23
Очевидно, свойства (1.17) достаточно, чтобы ряд (1.15) представлял
функцию типа (1.5), обладающую периодичностью решетки:
/ (г +1) = 2 -4geig'(r+0 = 2 Vig,reig,f= 2 Age&***f (г). (1.18)
egg
Нетрудно убедиться и' в необходимости этого условия, т. е. доказать, что
сумма (1.15) может содержать лишь те слагаемые, которые соответствуют
векторам g, удовлетворяющим условию (1.17).
Остается лишь построить векторы обратной решетки для непрямоугольной
решетки. Это легко сделать следующим образом. Примем в качестве тройки
базисных векторов обратной решетки следующие:
u _ [а2 X а3] и ___ [азХ ail 1 _____ [ai X а2] /л ^q\
1- aj-[a2Xа3] ' 2 а^агХаз] ' 3~~ а!-[а2хаз] ' ' ' '
и напишем
g = ^ibi + gib2 + ?3Ь3 = innjb! + 2пп2Ъ2 + 2im3b3, (1.20)
где пг и т. д. - целые числа.
Из простых формул векторного анализа следует, что Ьх "а! = 1 и т. д. и bx
*а2 = 0 и т. д., поэтому
g-I = (gabj + gi b2 + gsba)'(li&i + ha 2 + Z3a3) =
= glh + gih + gзЬ - 2п X Целое число. (1-21)
Таким образом, любой вектор из набора (1.20) удовлетворяет условию
(1.17).
Можно написать также формулу типа (1.10) для коэффициентов разложения
(1.15). Она имеет вид
Л" = Т-Т- ( / (г) e-ie,r dr. (1.22)
^ячейки J
По ячейке
Доказательство можно получить, умножая ряд] на exp (-ig -г) и интегрируя
почленно. Интеграл от exp (ig-r) по элементарной ячейке, очевидно, равен
нулю, если вектор g имеет вид (1.20). Исключение составляет лишь случай g
= 0.
§ 3. Свойства обратной решетки
Векторы, определяемые формулой (1.20), т. е.
g = iii'lnbi + /г2-2лЬ2 + и3*2яЬ3, (1.23)
образуют решетку с основной ячейкой, построенной на векторах 2лЬ1( 2пЬ2,
2яЬ3. Эта решетка называется обратной по отношению к исходной'прямой
решетке. Она представляет собой инвариантный геометрический объект,
свойства которого играют основ-
24
Гл. 1. Периодические структура
ную роль в теории твердых тел. Некоторые простейшие геометрические
свойства обратной решетки легко выводятся.
1. Каждый вектор обратной решетки перпендикулярен некоторому множеству
плоскостей прямой решетки.
Выберем какой-либо вектор обратной решетки g и вектор прямой решетки I и
рассмотрим соотношение (1.21)
g'l = 2л (га^! 4- ra2Z2 -f- nal3) = 2nN, (1-24)
где N -целое число. Это соотношение означает, что длина проекции вектора
I на направление вектора g равна
*=Т7Р (!-25)
Таким свойством, однако, обладает бесконечно много точек прямой решетки.
Допустим, например, что вектор решетки V определяется целыми числами
l\ = li - тп3, l'2=l2 - mn3, Z' = 13 + т {щ + ^2). (1-26)
где т - целое число. Очевидно, что
g.l' = g.i = 2nN. (1.27)
Таким образом, вектор Г имеет ту. же проекцию на направление g
и потому определяет точку, которая лежит в плоскости, нормальной g и
