Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
</) ~ 4 tn-v/'tw.-v (i 23)
А*
Используя снова формулы связи (4.19), (4.20), получаем из (4.23)
окончательно
<Я> - (4.24)
Выражение (4.24) определяет не только скорость роста средней энергии
волны, но и ее спектр (показатель при волновом числе к).
Комментарии к гл. 8
1. Интенсивное исследование нелинейных задач привело к построению
нового метода решения нелинейных волновых уравнении, основанного на
обратной задаче рассеяния. Начало этим исследованиям было положено зпа-
155
менитой работой [123]. Метод обратной задачи рассеяния позволяет для
многих нелинейных волновых уравнений найти точное решение задачи Коши
[122]. Эти решения описывают регулярные (не стохастические) движения
среды. Они охватывают довольно широкий класс известных (типичных)
нелинейных волновых уравнений. Физическая реальность, однако,
представляет нам значительно более богатую картину явлений, так как она
включает в себя различные виды турбулентного движения, бифуркационные
явлепия и т. п. Содержание настоящей главы связано с такими моделями,
которые допускают появление стохастического (турбулентного) движения.
Различные примеры нелинейных сред и нелинейных волновых движений
содержатся в книгах [120, 121]. Обзор явлений, связанных с появлением
стохастичности в нелинейных волнах, приведен в [1241.
2. Проводимый ниже анализ следует работе [126]. Аналогичный метод был
использовап для исследования резонансного взаимодействия нескольких
нелинейных волн [127, 128].
ГЛАВА 9
СТОХАСТИЧНОСТЬ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Эта и последующие три главы будут посвящены анализу квантовых
динамических систем. Могут ли уравнения квантовой динамики рождать "хаос"
(в отсутствие внешних случайных сил и параметров), подобно тому, как это
имеет место в классических динамических системах? Несмотря на то, что
поставленный вопрос может показаться достаточно разумным, в нем
содержится слишком большая неопределенность. Она связана с тем, что
многие понятия механики, которые существенно используются прп анализе
стохастичности в классическом случае, теряют свой смысл в квантовой
механике. Вместе с тем из принципа соответствия следует, что в условиях,
близких к классическим (%/I < 1,
1 - характерное действие системы), все результаты квантовой динамики
должны быть близки к результатам классической динамики. Это утверждение и
ряд других соображений, приводимых ниже, показывают, что вопрос о
зарождении "хаоса", или стохастичности, в квантовой механике нуждается в
более точной постановке, использующей понятия квантовой теории.
Однако прежде всего следует "пересмотреть" понятия, используемые в
классической теории стохастичности, и выяснить трудности, возникающие при
попытках их перенесения в квантовую теорию.
§ 9.1. Квантовые К -системы
Сравнение классических и квантовых систем. Проблема устойчивости.
Проблема интегралов движения и интегрируемости. Особенности квази-
классического приближения. Квантовые ^-системы и постановка задачи
Исследование стохастичности в классических ситемах определялось главным
образом следующими двумя проблемами: проблемой устойчивости системы и
проблемой обоснования статистической механики. В гл. 1 было показано,
каким образом они связаны между собой. Напомним, что хаотическое движение
классической системы возникает как результат наиболее сильной
15?
неустойчивости системы. Эта неустойчивость, называемая локальной,
приводит к перемешиванию траекторий в фазовом пространстве, расцеплению
корреляций соответствующих переменных, релаксации к равновеспому
распределению, разрушению интегралов движения и т. д. Но существу, все
методы исследования условии возникновения стохастичности основаны на
анализе свойств локальной устойчивости траекторий системы в фазовом
пространстве.
В этом месте нам легко перейти к трудностям анализа задач "вантовой
механики, где понятие траектории отсутствует, и поэтому обычное понятие
локальной неустойчивости теряет смысл. Вместе с ним исчезает и
возможность применения мощных методов, развитых в классической динамике
(по крайней мере, в их существующей форме). В связи с этим
исследование возможности существования стохастичности в квантовой
механике приво-
дит к необходимости более тонкого понимания некоторых основных прпнцппов
квантовомеханпческого описания. Остановимся па некоторых из нпх.
Как уже отмечалось, в классической механике существует хорошо
разработанная теория устойчивости, в которой понятие траектории системы в
фазовом пространстве играет фундаментальную роль. В квантовой механике
состояния системы описываются векторами в гильбертовом пространстве.
Понятие об их устойчивости является далеко не однозначным. Более
того, оно может не соответствовать
нашему представлению об устойчивости реальных физических систем. Столь же
неясной является проблема устойчивости операторов, которые в
гейзенберговском представлении описывают динамику кваптовой системы.
Приведем элементарный пример, который иллюстрирует неадекватность
