Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
вычислительных машин. Он неоднократно обсуждал со мной характер будущих
задач, которые можно было бы решать с помощью таких машин. Мы решили
подобрать ряд задач для эвристической работы, когда в отсутствие
замкнутых аналитических решений экспериментальная работа на ЭВМ,
возможно, помогла бы понять свойства решений. Особенно плодотворным это
могло бы оказаться в случае задач, касающихся асимптотического -
долговременного или "глобального" - поведения нелинейных физических
систем... Решение всех этих задач послужило бы подготовкой к
установлению, в конечном счете, модели движений системы, в которой должно
было бы паблюдаться "смешивание" и "турбулентность". Целью всего этого
явилось получение скоростей смешивания и "термализация" в надежде, что
результаты расчета смогут дать намеки на будущую теорию. Пожалуй, можно
высказать догадку, что одна из побудительных причип такого выбора задач
идет от давнего интереса Ферми к эргодической теории...".
2. Изложение этого и следующего параграфов следует работам [106, 14,
15].
3. При переходе от (2.11) к (2.12) следует более подробно оговорить
ситуацию с начальными фазами ф^,(0). При получении выражения (2.12)
молчаливо предполагается, что фазы <рк (0) слабо изменяются с изменением
к. Существует, однако, случай, когда изменение фаз фл (0) является
быстрым и, в частности, случайным (при переходе от одной гармоники к
другой). Естественно, что этот случай нуждается в особом анализе, который
был проведен в [13] и, в наиболее полной форме, в [119].
4. Приведенные свойства не являются следствиями каких-либо теорем, т.
е. не вытекают из каких-либо строгих доказательств. Однако до сих пор во
всех случаях мы встречались именно с такого рода ситуацией. Поэтому
следует оговорить, что возможны некоторые, может быть, не "типичпые"
случаи, когда решение вопроса о характеристиках перемешивания не сводится
к приведенной схеме. Такое может произойти, например, в задачах, в
которых фазы полей уже содержат апрпори случайный (внешний) элемент
[119].
ГЛАВА 8
СТОХАСТИЧНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН
Нелинейные периодические волны (в дальнейшем - просто нелинейные волны)
образуются в произвольных нелинейных средах в отсутствие диссипации. Они
представляют собой особое движение некоторого периодического профиля
волны со скоростью и а формально могут быть записаны в виде зависимости
у = у(х - lit).
Регулярные очень длинные волны, наблюдаемые часто на поверхности воды,
дают наглядное представление о такого типа процессе.
Нелинейная волна представляет собой довольно сложную динамическую
систему. Ее можно представить себе как пакет плоских волн, между которыми
существует сильная связь. Поэтому задача о влиянии внешних возмущений на
нелинейную волну содержит ряд особенностей по сравнению с задачами о
возмущении траекторий частиц.
В этой главе понятия нелинейного резонанса и стохастичности будут
распространены на новый класс динамических систем: нелинейные
периодические волны (ком. 1).
§ 8.1. Стационарная динамика нелинейных волн
Фазовая плоскость. Особые точки и солитоны. Нелинейный закон дисперсии.
Опрокидывание волны. Критическая скорость. Спектральные
свойства нелинейных волн
Нелинейные периодические волны представляют собой частный случай волн,
распространяющихся в заданном направлении. Это обстоятельство можно
использовать для некоторого упрощенного описания волны. Рассмотрим, для
определенности, нелинейное волновое уравнение в виде
ytt = c%x + F(y), F(y) = dV(y)/dy. (1.1)
Найдем его решение в форме бегущей волны:
У= % = x-ut. (1.2)
142
Скорость волны и следует рассматривать как некоторый параметр задачи. Из
(1.1) и (1.2) следует
(с*-иг)у" +F(y)=0.
(1.3)
Уравнение (1.3) эквивалентно уравнению движения нелинейного осциллятора с
массой (с2 -и2) в поле с потенциалом У(у). Интеграл энергии имеет вид
Теперь можно провести анализ различных решений на фазовой плоскости (у',
у). Он аналогичен тому, как это делалось в § 1.2. Физическим решениям
соответствуют финитные, т. е. замкнутые траектории на фазовой плоскости.
Через гиперболическую особую точку проходит особая траектория с энергией
Ес. Этой траектории соответствует вырожденный случай нелинейной волны
yc{x - ut) с бесконечным периодом. Такая волна представляет собой
уединенный профиль возмущения среды - солитон, распространяющийся со
скоростью и. Ярким примером солптона является цунами.
Из определения (1.2) для переменной 1 следует, что пространственный
период волны равен
где li и 12 - точки поворота в потенциальной яме V(y). Введем также
понятие волнового числа волны:
к = 2л/Я.
Из (1.5) следует важное соотношение
Оно определяет связь между волновым числом и скоростью волны. Зависимость
этой связи от энергии Е, т. е. от амплитуды волны, есть следствие
нелинейности уравнения движения (1.3). Выражение (1.6) можно поэтому
интерпретировать как нелинейный закон дисперсии волны. Переход к
линейному случаю осуществляется в пределе у 0, и = и/А.
