Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Переход от переменных (х, t) к одной переменной % приводит к упрощению
задачи и одновременно к потере некоторой информации о нелинейной волне.
Хотя при замене | = x - ut в задачу вводится новый параметр и, тем не
менее мы ничего не знаем о его допустимых значениях. Для выяснения этого
обстоятельства следует рассмотреть исходную систему уравнений среды.
Рассмотрим в качестве примера задачу о нелинейных плазменных колебаниях,
которая уже встречалась в § 1.2. Запишем
E = V3{c2-u?)(y')2 + V(y).
(1.4)
(1.5)
к = к(Е, и).
(1.6)
143
полную систему уравнений, описывающих эти колебания [21J: Р" + (рУ)* = 0,
v, + vvx = Ф*,
(1.7)
Фас* = 4ле (р - Ро).
Здесь р и v - плотность и скорость среды, Ф - скалярный потенциал поля.
Для решений в форме (1.2) находим из (1.7) р (у - и) = const = - и,
Е = Уг (<р')2 - 2а>1 (2шр1/г - ф), (1.8)
Ф1/2 = и - v, (c)2 = 4пе2рд1т.
Интеграл энергии (1.8) отличается от (1.2.11) лишь тем, что в последнем
положено и = 1.
При Е - 0 траектория проходит через точку ф = 0, и, следовательно,
величина v достигает значения и. При этом плотность р обращается в
бесконечность. Это явление называется опрокидыванием нелинейной волны.
Решение системы (1.8) становится многозначным, а сама система (1.8)
теряет смысл. Таким образом, особенность при Е = 0 носит более сложный
характер, чем это можно было бы себе представить из анализа только
интеграла энергии Е.
Рассмотрим еще один пример, который содержит одновременно оба типа
особенностей, приводящих как к существованию солитона, так и к
возможности опрокидывания волны. Это - модель ионно-звуковых колебаний
плазмы [125], описываемых системой
Р< + (pi>)* = 0, vt + vvx = - Ф*,
Ф** = - 4я (р - р0 ехр (еФ/Ге)),
где р, v, М - плотность, скорость и масса ионов, Те - температура
электронов. Для решений типа (1.2) система (1.9) имеет интеграл энергии
2Е = (и - v)4v')z + 1 + uv + ехр (uv - v1/2),
где для удобства дебаевский радиус rd = (7'е/4ле2р0),/2 и скорость
ионного звука с = (TJM)UZ положены равными единице. На рис. 8.1 приведено
семейство фазовых траекторий на плоскости (г/, v) при различных значениях
Е и и = const. Решение в виде солитона существует при Е = 0 и при любом
допустимом значении и. На рис. 8.2 изображено семейство фазовых
траекторий для различных значений и при Е = const. Из него видно, что для
тех значений Е, для которых существует периодическое решение, имеется
критическое значение скорости ие. Этой скорости соответствует
опрокидывание волны. Величина ис зависит от Е, и при малых Е ис " 1,6.
Периодические решения вида (1.2) могут быть разложены в ряд Фурье:
00
y(x - ut)= 2 Janexp[/nA(ar - ut)\. (1.10)
144
Зависимость а" от га будем называть спектром волны. В случае, близком к
линейному, амплитуды а" быстро убывают с ростом га. Это позволяет
ограничиться учетом первых нескольких членов в разложении (1.10).
Решения в виде нелинейных волн типа (1.2) описываются системой
обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому их анализ сводится к
изучению свойств нелинейных колебаний, определяемых некоторой функцией
Гамильтона. Так же, как и в § 1.2, можно ввести параметр N, определяющий
характерное число гармоник ап в спектре волны. Это означает, что при n<N
амплитуды ап убывают не слишком быстро, в то время как при n>N они
являются экспоненциально малыми. Для всех приведенных
Рис. 8.1. Фазовая плоскость ионнозвуковых колебаний при u = const
Рис. 8.2. Фазовая плоскость ионно-звуковых колебаний при Е - = const.
выше примеров такое N можно найтп. Величина N характеризует степень
ангармонизма нелинейной волны. В § 1.2 мы интерпретировали нелинейное
колебание как приблизительно N сильно связанных гармонических колебаний с
кратными частотами гаю (1 ^ га < 7V). Аналогично можно считать, что
нелинейная периодическая волна представляет собой ~ N сильно связанных
плоских волн, имеющих одинаковые фазовые скорости и. Это представление в
дальнейшем будет использовано.
§ 8.2. Возмущение нелинейных волн
Уравнения для фурье-компонент. Гамильтониан. Канонические уравнения
движения. Скобки Пуассона
Для описания общей эволюции нелинейных волн существует ряд методов.
Каждый из них связан с характерным классом решаемых задач. Как отмечалось
выше, нелинейную волну можно представить как волновой пакет, состоящий из
сильно связанных плоских волн. Поэтому можно себе представить, что для
достаточно слабых возмущений такой волновой пакет не развалится. Более
того, он может эволюционировать, изменяя свою геометрию в пространстве и
во времени. Однако эти изменения можно
10 Г. М. Заславский
145
описать в рамках малых или медленных изменений параметров,
характеризующих нелинейную волну в целом. Альтернативой такому описанию
является учет изменений каждой в отдельности гармоники пакета.
Ниже мы будем рассматривать достаточно грубые эффекты возмущения
нелинейных периодических волн. Поэтому ограничимся кратким изложением
соответствующего гамильтонова метода [124]. Рассмотрим уравнение движения
