Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
каким образом разрешаются парадоксы Цермело н Лошмидта, используя
представления о перемешивании и о локальной неустойчивости.
38
Прежде всего заметим еще раз, что теорема Пуанкаре в возвратах не имеет
никакого отношения к появлению статистических свойств в системе. Возвраты
существуют как при условно-перноднческом движении, так и при
стохастическом движении. В последнем случае времена последовательных
возвратов (циклов) являются случайной последовательностью, а величина их
для систем пз малого числа частиц также мала. Необратимость проявляется
не в том, что система не может вернуться близко к исходному состоянию, а
совсем в ином ее свойстве. Рассмотрим фазовую каплю правильной формы и
будем следить за изменением формы ее границ со временем. В устойчивом
случае (в отсутствие перемешивания) поверхность капли изменяется не очень
сильно, в то время как в случае локальной неустойчивости поверхность
капли очень быстро приобретает необычайно сложную и запутанную форму (см.
рис. 1.15). Необратимость связана нменно с этой формой. Никто еще не
подсчитывал вероятность возврата фазовой капли после перемешивания
обратно в "старую оболочку". Однако интуитивно ясно, что эта вероятность
должна быть столь же мала, как и вероятность возврата для большого числа
частиц. Пренебрежение этой вероятностью, эквивалентное также некоторому
огрублению, н приводит к необратимости.
Теперь проследим за тем, почему нельзя, как заметил Больцман в ответе
Лошмидту, повернуть все частицы в обратной направлении и тем самым
заставить систему перейти из состояния более вероятного в состояние менее
вероятное. Рассмотрим выходящий из малой области Д0 пучок траектории.
Рассмотрим также через некоторое, не слишком большое время область Д ~ Д0
и те траектории, которые, выйдя из Д0, попадают в область Д. Будем
считать, что Д есть масштаб огрубления в фазовом пространстве. Это
означает, что индивидуальный характер траекторий внутри Д для нас
потерян. Поэтому внутри области Д мы не можем отличить те траектории,
которые совершили путь Д0 Д, от траекторий, идущих по другим путям.
Следовательно, мы не можем повернуть траектории системы, вышедшие из Д0,
в обратную сторону. Точнее, мы не можем повернуть только те траектории,
которые вышли из Д0. Мы поворачиваем все траектории, находящиеся в Д, т.
е. огромное число других траекторий. Именно в этом месте и начинает
работать свойство перемешивания системы, которое необходимо для
последнего утверждения.
При локальной неустойчивости через короткое время (время перемешивания) в
области Д находится много "чужих" траекторий, пе вышедших из Д0. Таким
образом, огрубление приводит к потере информации об индивидуальных
траекториях в области огрубления Д в момент их достижения этой области (и
тем самым в любой последующий момент времени), а перемешивание приводит к
заполнению области огрубления за конечное время траекториями, о которых
теряется информация. Наконец, важным является то, что перемешивание
заполняет область огрубления
39
траекториями, пришедшими почти из любой области фазового объема. Поэтому
в смешении информации участвует доля порядка Д ~ До траекторий, в которых
равномерно представлены состояния почтп всего фазового объема, а не малой
его части. Такая ситуация, обеспечиваемая перемешиванием, делает механизм
потери информации экстремальным и устойчивым.
Комментарии к гл. 1
1. Теореме Пуанкаре суждено было сыграть особую роль в развитии
стохастической теории. Эта теорема легла в основу парадокса Цермело (он
будет рассмотрен ниже), который явился одной из причин (как будет видно
далее - необоснованной) критического отношения к кинетической теории
Больцмана.
2. Из теоремы Пуанкаре не следует, как система будет возвращаться в
исходную область. Времена последовательных возвратов могут подчиняться
любому закону, в том числе и случайному. Тем не менее в ряде работ и книг
по статистической механике теорема о возвратах воспринимается как
доказательство почти периодического движения системы.
3. Изложение теории нелинейного резонанса следует в основном работе
[15]. Более подробное описание можно пайти в монографии Чирикова [24] и в
обзоре [25]. Анализ строгих методов и результатов содержится в книге
Арнольда [16]. Эту книгу мы настоятельно рекомендуем читателю не только
для выяснения последних достижений в области классической динамики, но и
для уточнения ряда "старых" результатов. Отдельные вопросы динамики
включены Арнольдом также в монографию [17].
4. Строгий анализ, доказательство и библиография всех результатов,
ириведеиных в этом параграфе, имеются в книге Арнольда [16].
5. Фундаментальное значение проблемы устойчивости в классической
механике отмечалось еще в работах Пуанкаре [27]. Ее приложения
ограничивались в основном задачами небесной механики, а трудности в
решении были связаны с хорошо известной проблемой малых (резонансных)
знаменателей. Значение теории КАМ не только в том, что эти трудности были
