Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда
Аа = (Ха,, Х_,аг)
и уравнение для границы между конусами L+, L~ имеет вид \Аа\г- 1а|2,
или
(ХаО2 + (агД)2 = а\ + а\.
Решением его является а2/а, = ± X.
Иными словами, растягивающийся конус состоит из векторов, для которых
la2/ajl < X, а сжимающийся конус состоит из векторов, для которых
laj/atl>X (рис. 2.1). Граница L+ определяется вектором (а" аг). Образ AL+
имеет границы (а" а2) = = (Xalt X-,a2), т. е. уравнение границы конуса
AL+ имеет вид
Х^Йг/ХЙ! = ± 1/Х.
Отсюда
\q.Jq,\I ^X = l&2/(Zil.
Таким образом, конус AL+(x) попадает внутрь конуса L+(Tx) 54
(рис. 2.2), и первое условие критерия (2.1) выполняется. Аналогично
проверяется и второе условие (2.1) *).
Теперь следует внимательно обсудить ту информацию, которую можно извлечь
из описанного критерия стохастичпости и примера (2.2). Поскольку матрица
А не зависит от координат, то при каждом действии отображения на вектор х
= (xit хг) с этим вектором будет происходить растяжение в к раз по
координате xt и сжатие в X раз по х2. Таким образом, вдоль одной из
координат преобразование (2.2) действует точно таким же образом, как и
отображение (1.15), а коэффициент растяжения возникает как следствие
неустойчивости (это эквивалентно существованию действительных п различных
собственных значений Xi, Я.2). В связи с тем, что матрица А
диагонализируется одним и тем же преобразованием для произвольного
момента времени, сжатие вдоль хг пе влияет па растяжение вдоль xt. Иными
словами, можно выделить ту степень свободы движения, вдоль которой все
время происходит растяжение. Тем самым аналогия с отображением
(1.15) углубляется.
Реальная ситуация, конечно, выглядит не совсем так, ибо всегда есть
некоторое "смешивание" направлений растяжения и сжатия. Это означает, что
матрица А ие есть постоянная и ее
нельзя диагонализировать единым преобразованием во все моменты времени. В
этом месте и вступает в игру определенная смелость физических
соображений, которая перепосит строгие результаты для случая А = const на
случай А " const, для которого уже ничего не удается доказать точно. Нам
еще придется достаточно подробно обсуждать подобную ситуацию, а здесь
следует зафиксировать определенный вывод: стохастнчность появляется, если
имеется растяжение вдоль какой-либо из координат вектора состояний.
Теперь мы можем перейти к более сложному примеру - "преобразованию пилы":
(ЛГ|, х2) = T(xt, хг),
it = {*, + Kf(xz)}, (2.3)
Х2 = {хг + iti) = {хг + xt + KfUГ2)},
*) Читателю предлагается в виде упражнения доказать стохастнчность с
помощью критерия Синая для отображений Тх = {1/х} и Тх = {Кх} (К > 1),
рассмотренных в § 2.1.
\ф)
Рис. 2.2. Иллюстрация действия критерия растяжения.
Рис. 2.1. Конусы сжимающихся и растягивающихся векторов для двумерного
растягивающего отображения.
55
где
df(x)_ f + 1, 0 <*<1/2,
I -1, 1/2 < x < 1.
Далее мы увидим (гл. 4), как в нелинейных колебаниях возникает
преобразование типа (2.3), однако функция fix) в них пмеет сглаженную
аналитическую структуру.
Задача (2.3) исследовалась В. И. Оселедцем. Применим к ней критерий
(2.1). Рассмотрим сначала область, где /'Gr2) = 1. В этом случае
Hi .У <2-4>
Все дальнейшее рассмотрение аналогично исследованию отображения (2.2).
Единственное различие связано с конкретным определением собственных
значении X), Х2. Из (2.4) следует уравнение для X:
Л*-Л(2 + Я) + 1- О, откуда
*1,2 = 1 + ЧщК ± (V 4я2 + к)112
и неустойчивость (A,i > 1, = 1/Л. < 1) существуют при значени-
ях К > 0 либо при К < -4. Аналогично рассматривается область, где ]'(хг)
= -1. В этом случае неустойчивость существует при К < 0 либо при К> 4.
Таким образом, во всей области 0 < х < 1 неустойчивость, а следовательно,
п стохастичность существуют при
Ш> 4. (2.5)
Этим примером, относящимся к классу так называемых У-си-стем, мы
заканчиваем рассмотрение "формальных" моделей (ком. 2).
§ 2.3. Столкновение абсолютно твердых шариков
Анализ Крылова. Роль отрицательной кривизны. Трудности в исследовании
модели
Мы уже упоминали о том, что Н. С. Крылов провел первое исследование
реальной физической системы с точки зрення возможности появления в ней
свойств перемешивания и связанной с этим возможности обоснования
статистической механпкн. В качестве такой системы Крыловым [42] была
выбрана система из твердых шариков, регулярно сталкивающихся друг с
другом через характерное время ~t0. Все движение происходит в плоскости,
а соударения являются абсолютно упругими.
Будем изучать движение луча (материальной точки), рассеивающегося на
кругах радиуса R, равного удвоенному радиусу
56
шариков. Как известно, такая постановка задачи эквивалентна исходной в
случае двух сталкивающихся шаров. Систему уравнений, связывающую
параметры луча и координаты рассеивающего круга, нетрудно получить, если
обратиться к рис. 2.3. Пусть центр сферы, на которой происходит
рассеяние, расположен в начале системы координат (х, у), а координаты
точки рассеяния на сфере характеризуются параметрами (R, О).
