Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
полной энергии системы. Анализ, проведенный Н. С. Крыловым, показал, что
именно стохастическая неустойчивость обеспечивает равномерное
перемешивание начальной фазовой ячейки с любой требуемой точностью на
поверхности неразрушенных однозначных интегралов движения и приводит к
конечному времени релаксации на этой поверхности. Сам характер релаксации
именно тот, который типичен в статистической механике (ком. 8).
Системы, обладающие свойствами (5.9)-(5.11), называются ^-системами (их
более точное определение и анализ будут приведены в следующем параграфе).
Подчеркнем, что исключительным свойством /^-систем является то, что это
динамические системы (т. е. системы, описываемые обратимыми
дифференциальными или разностными уравнениями движения), у которых
координаты и импульсы являются случайными функциями времени (ком. 9).
Практически все дальнейшее изложение будет посвящено анализу различных
типов ^-систем, встречающихся в физике. Здесь же мы приведем без
исследования пример ^-системы, движение которой описывается дискретным
преобразованием (отображением). Причина, по которой мы выбрали этот
пример, не только в его необычайной простоте, но и в том, что в нем
используется очень часто встречающийся в математике прием, который
оказывается типичным для многих физических ситуаций.
30
"Преобразование пекаря" заключается в определенном способе отображения
точек единичного квадрата на единичный квадрат с сохранением меры. Сожмем
квадрат по оси у вдвое, а по оси х растянем его вдвое (рис. 1.17).
Разрежем образовавшийся прямоугольник на две равные части вдоль оси у и
положим
а) д) ?)
Рис. 1.17. Последовательные этапы "преобразования пекаря".
правую часть под левой. Получится снова квадрат, с которым надо повторить
указанные операции, и т. д. Преобразование пекаря обладает свойствами
перемешивания и локальной неустойчивости. Бели выбрать координаты
некоторой точки в квадрате как начальные и рассмотреть "траекторию" этой
точки, т. е. последовательность ее отображений, то строгое утверждение
заключается в том, что координаты точек, порождаемых преобразованием
пекаря, образуют последовательность случайных чисел (исключение, конечно,
составляет множество траекторий некоторых точек меры нуль - это типичная
оговорка для эргодической теории). Читателю предлагается в виде
упражнения рассмотреть, что будет происходить со знаками и и л на рис.
1.17 при продолжении отображений.
Можно поставить вопрос: как часто среди динамических систем общего типа
встречаются системы с перемешиванием? Или иначе: каких систем больше,
устойчивых или систем, имеющих локальную неустойчивость? Если к последним
отнести системы, у которых область локальной неустойчивости в фазовом
пространстве может быть любой (в том числе и очень малой), то именно они
составляют основную часть множества всех систем. Типичными оказываются
системы, имеющие ненулевую область стохастического движения. Почему это
так, станет ясно несколько позже.
§ 1.6. Энтропия
Огрубление функции распределения. Динамическая энтропия Колмогорова. ^-
системы и энтропия. Изоморфизм ^-систем
С именем Больцмана связана знаменитая //-теорема, определяющая
направление макроскопической эволюции системы. Больцман ввел также
определение энтропии через функцию распределения системы F(p, q):
S[F\ = -]F\nFdpdq. (6.1)
В связи с определением (6.1) нам понадобится одно важное
31
замечание. Пусть /(р, q, t) удовлетворяет уравнению Лиувилля <1.7). Это
означает, что информация, заключенная в /, не содержит тех свойств,
которые присущи кинетическому описанию. Действительно, как уже отмечалось
в § 1.1, решение уравнения Лиувилля (1.7) эквивалентно решению
гамильтоновых уравнений движения (1.1). Другой характеристикой этого
факта является равенство
dSJf]
где
Л--0* <"-2>
S[f\ - - ^flnfdpdq. (6.3)
Выражение (6.2) находится из (6.3) дифференцированием:
f)%dpdq.
Отсюда следует (6.2), так как в силу уравнения Лиувилля df/dt = 0. Таким
образом, энтропия, определенная по функции распределения /, не изменяется
со временем.
Ситуация изменяется, если вместо "точной" функции распределения
использовать функцию, каким-либо образом огрубленную, или, как говорят,
крупнозернистую. Определим F:
F-ij/if, (6.4)
вг
где 6Г - область огрубления. Тогда при определенных условиях функция F
будет удовлетворять уже необратимому кинетическому уравнению, для
которого dF/dt^ 0, и, следовательно, величина 5IF] может зависеть от
времени.
Больцману также принадлежит еще одно утверждение:
S = AlnW, (6.5)
где W - статистический вес состояния, описываемого функцией распределения
F, и к - постоянная Больцмана. Подробное обсуждение и доказательство
формулы (6.5) были даны Эренфестом
[45] *). Дальнейшее развитие различных областей науки (статистической
физики, теории информации u др.) подтвердило ту глубину познанпя природы,
которая заложена в формуле Больцмана. С одним из таких проявлений ее мы
познакомимся ниже.
