Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
а) метод сглаживает все или часть существующих особенностей; б) метод
сохраняет число и характер особенностей; в) метод позволяет обнаружить
новые особенности, обусловленные возмущением. К последнему типу относится
теория нелинейного резонанса.
Представим себе действие внешней периодической силы на нелинейный
осциллятор, и пусть частота осциллятора близка к частоте внешней силы.
Возникающий резонанс приводит к нарастанию амплитуды колебаний и,
следовательно, к выходу частоты осциллятора из резонанса нз-за
нелинейности, т. е. из-за зависимости частоты от амплитуды. В
гамильтоновых системах отсутствуют асимптотически устойчивые состояния
или асимптотически устойчивые предельные циклы [16]. Поэтому через
некоторое время система снова вернется к окрестности резонанса.
Рис. 1.7. Различные типы возмущения потенциала (сплошная кривая - не-
возиущенный потенциал, пунктир -возмущенный).
Так возникают колебания, называемые фазовыми (ком. 3). Приведем теорию
этих колебаний.
Запишем гамильтониан возмущенной нелинейной системы
в виде
Я = Я0(7) + eF(/, ft, t), (3.1)
где е - безразмерный малый параметр (е"1), характеризующий
2 г. М. Заславский 17
возмущение, а V удовлетворяет условию периодичности по времени:
У(/, О, t) = У(/, О, t + T), Т = 2n/v.
Это позволяет записать разложение V в ряд Фурье:
V (7, fl, t) = y 2 У и (7) exp i (№ + Ivt) + к. с.,
М (3.2)
vw = vV/"
где A, J - целые положительные и отрицательные числа и к. с. означает
члены, комплексно-сопряженные предыдущим. Уравнения движения для (3.1)
имеют вид
/ = - е *е 2 kVhl W ехр * ^ + + к* с-'
(3.3)
= (В (7) + Y е 2 exp"(Ад + Ы) + к. с. к,1
Если в правой части (3.3) для какого-либо члена возможно равенство
АоЮ + kv (r) 0, (3.4)
то возникает резонанс, при котором 7 нарастает со временем.
Рассмотрим простейший случай одного резонанса при к" =
- - i0 = ±l. Тогда вместо (3.1), (3.3) имеем
Н = H"(.I) + sF0(7) cos if,
1 = eF0(7) sin i|j, (3.5)
• dV'.
t|> = (c)(/) + 8 COS 1|),
где опущены нерезонансные (быстро осциллирующие) члены п обозначено
"ф = О - vf + q>, Vi,-i= lVi1-Je<*^,Fee<*.
Несмотря на ряд упрощений, система (3.4) все еще остается достаточно
сложной для исследования. Далее введем безразмерный параметр нелинейности
_______| da (/)
a-\sr
:г <з.в>
и примем для него неравенство
е"а"1/е. (3.7)
С его помощью будет оправдана та последовательность преобразований и
приближений, которую следует проделать с системой
18
(3.5). Пусть /0 - значение действия, при котором выполняется точно
резонансное условие (3.4), т. е.
v = ш(/0).
Тогда 1) разложим Н0(1) в окрестности /0 до членов второго порядка
включительно; 2) заменим У(/) -> V(/o) - Vo] 3) пренебрежем в уравнении
для ф вторым членом, пропорциональным е; 4) разложим ш(Л в окрестности /0
до членов первого порядка включительно. Это дает следующее приближенное
выражение для гамильтониана:
л da> (I)
Н=Н0 (/0) + ш (/0) M+y -jr*1 (А/)2 + *V0 cos г|з,
А/= -7 -10,
и уравнения движения d
da> (IА
- А/.
(3.8)
(3.9)
Tt А/ = еУ0 simjj, if = (о (70) + -jj-Переменные А/, ф являются
каноническими для гамильтониана
(3.10)
____ л dto (Г)
Н = (Д/)2 + еУ0 cos i|>, (0 ---------
dl
называемого также универсальным гамильтонианом нелинейного резонанса. Он
связан с (3.8) канониче-ским преобразованием
(/,<"-(А/, d-vi), Н = Н - vA/, v-(c)(/,), (3.11)
с точностью до несущественной константы*) H"Uo).
Проделанные упрощения демонстрируют один из популярных в физике приемов:
вместо того чтобы решать достаточно сложную задачу, ее сводят к уже
решенной. Действительно, гамильтониан
(3.10) есть не что иное, как гамильтониан
(2.5) нелинейного маятника. Из (3.9) дифференцированием можно получить
уравнение фазовых колебаний
ф- eVoto'sin ф = 0, (3.12)
совпадающее (с точностью до сдвига по фазе) с (3.4). Поэтому дальнейший
апа-
Рис. 1.8. Нелинейный резонанс первого порядка: пунктир - невозмущенная
траектория при I = /о, тонкие кривые - фазовые колебания, жирная кривая -
сепаратриса фазовых колебаний, Э - эллиптическая, Г - гиперболическая
точки фазовых колебаиий.
лиз элементарен. Траектории фазовых колебаний на фазовой плоскости
невозмущенного движения прп ^= 0 изображены парис. 1.8. Вся картина
траекторий сохраняется
*) Преобразование (3.11) в физике часто называется переходом во
вращающуюся систему координат.
2* 19
во вращающейся системе координат и вращается с частотой v "= со (/0) в
плоскости невозмущенного движения.
Частота малых фазовых колебаний находится из (3.12):
Q = (eV.lo>'|)|/г ~ о>(/")(еа),/г. (3.13)
Шнрнна сепаратрисы по действию определяется из Н при ^ = я/2:
max Д/ = (2еУ,/| а' | )1/2 ~ /0 ( (3.14)
Ширина сепаратрисы по частоте
max Дю =" |ю'| *тах Д/~ ?2. (3.15)
Обратим внимание на три характерных свойства нелинейного резонанса. Во-
первых, изменение основных параметров А///", Доэ/оэ пропорционально е1/а,
а не е, как в обычной теории возмущений. При е <¦ 1 неравенство е,/2 > е
показывает, что эти изменения очень велики. По существу, теория
