Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
тем более, высокая точность получаемых правил сшивки решений. Однако, как
видно из результатов § 8, 9 и настоящего, уже для двух точек поворота
коэффициенты сшивки определяются неоднозначно. В то же время физически
необходимые результаты (коэффициенты R, D и правила квантования)
определить однозначно еще можно. При одновременном обходе особых точек,
число которых больше двух, неоднозначность в определении коэффициентов
сшивки настолько велика, что использование метода Цвана теряет смысл и
появляется необходимость в обходе точек поворота порознь, заключая внутрь
контура обхода не более двух точек.
Приведенные соображения оправдывают следующее опасное место, возникающее
при прохождении через барьер и при надбарьерном отражении. Изменение
начала отсчета, которым мы пользовались, приводит к появлению при
коэффициентах A В4 множителя типа ехр(±8). Если, например, множитель
ехр(-б) окажется при том решении, которое в рассматриваемом секторе
экспоненциально нарастает, то это решение, может быть, нельзя уже считать
преобладающим. Чтобы приведенные в § 8, 9 выводы были справедливыми,
необходимо, очевидно, чтобы радиус контура одновременного обхода двух
точек поворота был намного больше расстояния между этими точками. Это
объясняет следующий известный факт: коэффициенты R, D и
36
правила квантования для U(x) = a + bx2, полученные в ВКБ-приближении,
совпадают с точными. Контур обхода для параболической функции Uix) можно
увести как угодно далеко на бесконечность, т. е. повышать сколь угодно
точность результатов 4).
§ 11. Прохождение через параболический слой
Рассмотрим конкретный пример U(x, Е), когда ^уравнение (6.1) имеет точное
решение
г|/' + (А + а:2)-ф = О, (11.1)
и сравним решения (11.1) с полученными выше результатами. Решение этого
уравнения в ВКБ-прпбли-жении имеет вид
X
i I" (А, -f- х2)1/2 dx =
= (X + x2)~bi exp i jy x (X + ж2)1/2 +
X In [x -f (X + x2)112] - X In | X 11 или при x > |Я|
¦ф+ ~ xi(X~lV2 e"2/2 exp {- (i/4) X In | X | + (//2) Kin 2}.
(11.2)
Аналогично
~ x~l<~x+1 ),/2 e-1*2^2 exp {-(- (г/4) X In j X | - (i/2) In 2}.
(11.3)
Пусть на линии уровня 1 (см. рис. 3, б) задано решение т|з = т|з_. Тогда
на линиях 2, 3 (началом отсчета является х - 0) согласно формулам (8.3)
имеем
ij) = \fi_ + a\|)+, (11.4)
4) Можно привести примеры других функций U (х), для которых R, D и
правила квантования, полученные в ВКБ-приближении, совпадают с точными.
=(А-f ?2) 1/4 ехр
37
где а определяется формулой (8.15):
а = ?е1ф(1 + еи)'к. (11.5)
В соответствии с (8.5) нетрудно.получить
б = яХ/2. (11.6)
С другой стороны, точным решением уравнения (11.1) является [11]
¦ф(;г, к) = Z?p(±(l + i)x), (11.7)
где DP - функция параболического цилиндра. Зададим на линии уровня 1
решение, соответствующее яр-:
ч|з = Dp(i 1 + i)x).
При больших \х\ имеем асимптотику
Z>_tl+1X)/a(( 1 + i)x) ~ a;-(1+iX)/Vi3c2/2x X exp{jtX/8 - [(1 + ik) In
2]/4 - in/8). (11.8)
На линиях уровня 2, 3 асимптотика функции Dv{{ 1 + + i)x) имеет вид
D-(l+il)li ((1 + 0 х) ~
~ ехр {лХ/8 - [(1 + ik) In 2]/4 - .
- in/8} - (2я)1/а [1/Г ((1 + ik)/2)] х
X exp {пк/2 - in/2 -in (1 - ik)/8 -
- [(1 - г'Х) In 2]/4). (11.9)
Из сравнения (11.8) и (11.9) с (11.2)-(11.4) находим a = i(2n)4l/T((l +
iX)/2)]e^X Хехрг{-а/2)1п2 +a/2)lnlX|>. (11.10)
Из (11.10) получаем
\а\ = (2сЫпк/2)У'е*т = (1 + е*к)'к =
= (1 + e2i)'h, (11.11)
что совпадает с (9.9), и
<р = arg а - п/2 - arg Г(1/2 + ik/2) -
- *а/2)1п 2 + (i/2)k In Ui. (11.12)
38
При % При Я
где С -
О
Ф~0(1Л). (11.13)
Ф ~ (А/2) In |А| + (А/2)(1п 2 - С), - (11.14)
постоянная Эйлера.
§ 12. Уравнение с периодической функцией. Движение в периодическом поле
Как уже упоминалось в § 9, метод Цвана можно использовать при наличии
более чем двух особых точек за счет определенной потери точности. Покажем
это на примере периодической функции U(x)
U(x + L) = U(x).
Решения уравнения
г|+ U(x)'\!p - О
(12.1)
(12.2)
обладают свойством трансляционной симметрии
г|)(х + L) = Ал|)(а;), (12.3)
где % - собственное значение оператора сдвига по координате на L. На
U(x)
рис. 5 показан ход функции U(x), а на рис. 6 изображены линии уровня.
Пусть в области хъ >
> х > х0 задано решение в виде
¦ф(х) = Л-ф+ + В|ф_, (12.4)
где
= к 1/4 ехр | ± г х
Рис. 5. Потенциал в периодическом случае.
X j &(a;)cfo;|. (12.5) \ I
xq ) Рис. 6. Линии уровня в периоди-
ческом случае.
39
Обсудим имеющиеся в нашем распоряжении возможности. В [12] авторы из
области (хй, ?3) проходят "под барьер" в область (х0, xj и затем выходят
в область (х2, х,). Такой подход принципиально неверен и приводит к
неправильным результатам. С одной стороны, это связано с тем, что в (x0,
'xi) решение г|)+ является экспоненциально растущим с ростом \х\, а ф- -
экспоненциально затухающим. Вследствие этого коэффициент при остается не
определенным в пределах применимости ВКБ-приближения. С другой стороны,
даже малый коэффициент при г|з_ в интервале (х0, х{) может дать
существенный вклад в области (х2, xt).
