Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(5.3)
= -(4я/с2)д2Р(2)/д?2.
Здесь Р(1) и Р<2) - векторы линейной и нелинейной диэлектрической
поляризации. Вектор Р(1) определяется тензором линейной восприимчивости
Ж(т, t)
оо
Р(1) (г, t) = (г, t') E(r,t - t') dt'. (5.4)
О
В средах с квадратичной нелинейностью вектор Р(2) определяется тензором
нелинейной квадратичной восприимчивости %{r, t, t') [8J
оо
Р(2) (г, t) = j X (г, f, t") • Е (г, t - f) Е (г, t - f - П х
о
Xdt'dt". (5.5)
Зависимость тензоров г, t) и %(r, t, t') от пространственных координат
связана с неоднородностью среды.
Будем далее полагать, что все величины в уравнении (5.3) зависят только
от одной пространственной координаты х, а частоты взаимодействующих волн
подчиняются условию (03 = (r)! + со2. Решение уравнения
(5.9) будем искать в "квазиклассическом" виде
Е (xt t) = 2 1(1/2) ejCij (х, t) exp i
j* kj (x1) dx1 - (Oj
+
+ K.C.L (5.6)
где ej - единичные векторы поляризации, /с/х) = = nj(<j)jx)<j)/c, щ -
показатель преломления, а,(х, t) - медленно изменяющиеся амплитуды волн.
Подставляя выражение (5.6) в волновое уравнение и отбрасывая старшие
производные, при условии \ajdkj/dx\ <
17
-С \кДа^йх\ приходим к следующей системе укороченных уравнений:
X
dajdt + vxdax!dx = exp
dajdt + v2dajdx = ia2a3a* exp
da3ldt -f- v3da3/dx = ia3a1a2 exp
i j' A (хг) dxx L о
X
J A (xj) dxx
i
L o
, (5.7)
- г | А (хг) dx1
Здесь A(x) = k3(x) - k^x) - k2(x), vs = с/иДш,-, x) - хрупповые скорости
волн, коэффициенты нелинейного взаимодействия оД#) имеют вид [161
<т7- (х) = 2л<вдЭф (x)/nf (со,-, х) = 4жо^,с?Эф (x)ln) (coj, х),
(5.8)
причем эффективная нелинейность %Эф определена как Ъф(х) = е3%(-а3, Git,
св2, х) : e4e2 = 2йаф(ж). (5.9)
Таким образом, неоднородность приводит к зависимости коэффициентов
укороченных уравнений. от пространственных координат, а также к появлению
переменной расстройки фазового синхронизма Д(аО.
Возможность использования укороченных уравнений связана с пренебрежением
рядом эффектов, таких, как дифракционные и эффекты фокусировки, разбега-
ние пучков вследствие анизотропии и др. Детальное обсуждение области
применимости и уравнений (5.7) можно найти в монографии АхМанова и
Чиркина 115J. Естественно, эти уравнения также неприменимы вблизи точек
нарушения квазиклассического описания, где обращается в нуль локальное
волновое число (или частота) волны. В дальнейшем будем исследовать
резонансные нелинейные взаимодействия волн в областях вдали от точек
обращения в нуль групповых скоростей, средних локальных волновых чисел
пакетов волн. Групповые скорости при этом будем приближенно считать
постоянными, учитывая лишь основной эффект, связанный с расстройками
фазового синхронизма волн из-за неоднородности.
¦18
Заменой переменных с50с, t) = п}а}(х, t)/2(2n(0j)1/2 система уравнений
(5.7) приводится к гамильтоновому виду
dcjdt + v^dcjdx = iVc3c* exp | i J Д (xj) dx^ dc2ldt + v2dc2/dx = iVc3c*
exp J A (.r^ (5.10)
dc3ldt -j- v3dc3/dx = iV*c1c2 exp- i J A (a^) dxx j;
V = ^эф(2лУп((о1а)2а)з)и2/п1п2п3. (5.11)'
Квадрат модуля комплексной амплитуды |с3|2 имеег смысл плотности числа
квантов волны с частотой со3-. Легко проверить, что уравнения (5.10)
могут быть записаны следующим образом:
dcj/dt + id Я?/6с* = 0, / = 1, 2, 3, (5.12)
где 8/8cj - вариационная производная. Гамильтониан, имеет вид
з
Ж = (i/2) ^ |" {vjCjdCj /dx- VjCj dcjldx) dx - i=i' - j Vc*c*c3 exp I i
j'А (хг) dxx J + V*cxc^ expl - ix
X j* A (x-i) dxx
dx: (5.13)
При выводе уравнений (5.10) путем варьирования гамильтониана по формулам
(5.12), (5.13) групповые скорости волн полагались постоянными. К
гамильтоновому виду могут быть преобразованы укороченные уравнения,
описывающие взаимодействие волн любой природы, специфика конкретной
задачи отражается лишь в виде матричного элемента взаимодействия V и
групповых скоростей волн.
В неравновесных средах, где знак производной диэлектрической
проницаемости die/d(r) может быть отри-
19
цательным, могут существовать волны с отрицательной энергией. На
возможность существования таких волн впервые обратили внимание Кадомцев,
Михайловский и Тимофеев [17]. В таких средах могут осуществляться
резонансные взаимодействия трех волновых пакетов, подчиняющиеся условиям:
(Oi + и2 + Из = 0, A(z) = ki + кг + к3, (5.14)
Выполнение этих условий возможно потому, что частота волны с
отрицательной энергией изменяет знак. В этом случае главную роль в
гамильтониане играет
член - ^ исхсгсъ ехр J А (х^) dx^ +к.с. j йх Варьированием гамильтониана
з
cf& = (i/2) 2 f [vjcjdc*/dx - VjC* dcj/dx\ dx - i=i x
-J Uc^cg exp J A (Xi) dx1 j + K- c. dx (5.15)
лолучаем укороченные уравнения, описывающие взаимодействие волн в
неравновесных неоднородных средах:
dcjdt + VjdcJdx = iU*c\cs exp ^- i j А (хг)
dc2tdt + v2dc2/dx = ill*c*cs exp ^ - г j Д (x^) ^.r^,
(5.16)
dc3ldt + v3dc3ldx =iU*c*c* exp ^- i J A (xг)
Уравнения (5.16) допускают решение, обращающее амплитуды всех волн в
бесконечность за конечное время. Это явление получило название взрывной
