Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентны соответственно линиям уровня 2, 3, 4. Тогда,
воспользовавшись формулами
(8.7), имеем
Лт = в4М4 + а*Я4), (8.8)
В7 = ввГ014* + (а,р, + е-2в)Я4]-
28
Теперь мы должны сравнить решения, взятые на разных берегах разреза
(линии 1 и 7), и потребовать их совпадения вследствие аналитичности
истинного решения. Для этого следует учесть, что кг имеет простые нули в
точках at и аг и, следовательно, к можно записать в виде
к = [(& - ajix - a2)Y''f(x), (8.9)
где fix) в рассматриваемой области аналитична. Полный обход вокруг точек
аи аг не меняет показателя экспонент в (8.2), а предэкспоненты
приобретают знак минус. Отсюда
А7=^-Аи Вт = - В\. (8.10)
Подставляя (8.8) и (8.7) в (8.10), приходим к следующим уравнениям для
определения ai, a2, j3i, р2:
1 + a2'Pt = - e_2S, at + a2(aiPi + e-26) = 0, p2 + jii(a2j32 + e~26) = 0,
(8.11)
aiP2 + (aiPi + e~u) (a2p2 + e~26) = e~2S.
Мы получили четыре уравнения для определения че-
тырех неизвестных. К сожалению только три из них являются линейно-
независимыми, и поэтому в случае двух точек поворота используемый метод
не приводит к однозначной сшивке решений. Из системы (8.11) получаем
at = a2 еэ a, Pi = р2 = 'Р,
(8.12)
сф = _ (1 + e-2S).
В действительности, если Uix) вещественно, то неоднозначность в
определении аир меньше, чем это следует из (8.12). Учтем, что если
ij>(a:) - решение, то ¦ф*(а:*) есть также решение. Для решения if)*(a;*)
в расположении линий уровня на рис. 3, б следует сделать замены:
1 - 7, 2 -*¦ 6, 3 5. (8.13)
Кроме того, в той области, гДе раньше появлялся коэффициент а, теперь
стоит р*. Так как согласно (8.13)
29
берега разрезов меняются местами, предэкспонента меняет знак и,
следовательно,
а - - >[}*. (8.14)
Из (8.14) и (8.12) вытекает, что
а = ге<ф( 1 + е~26У'2,
(8.15)
? = ге-гЧр(1 + е-иУ:',
где ф - неизвестная фаза, которая не может быть определена
рассматриваемым методом.
Физический интерес представляет следующая задача: задано решение при z >
а2 (коэффициенты^!,#!) и требуется найти решение при х < at (коэффициенты
Bi). Воспользовавшись формулами (8.7), (8.12),
(8.15), можем написать
_i( е* ^Ф(1 + е9-6)1/2)(АЛ
\Bj + е%ь)11г -"6 )\BJ
(8.16)
где множитель - i возникает из предэкспоненты в результате полуобхода.
Учтем, что при полуобходе, согласно (8.9), показатели экспонент меняют
знак. Если записать решение при х < в форме ij) = + 5i|>+,
то согласно (8.16)
(A\_.(ie-iv(l + e26)1/z -е6
\В) [ ¦ еб 1^{\ + егуг ГВ^'
(8.17)
Формулу (8.17) запишем сокращенно в виде
А = AfA" (8.18)
где
Матрицу М будем называть в дальнейшем матрицей перехода.
30
Пусть, например, Bi = 0. Тогда из (8.17) следует ? = U,M|2 = 1/(1+ е2в),
(8.20)
Д = \В1/А\г = 1/(1 + е_2в),
Д + Д = 1.
В квантовой механике величина R называется коэффициентом отражения от
барьера, a D - коэффициентом прохождения. При выводе (8.17) на расстояние
между точками аи а2, а значит, и на величину б никаких ограничений не
накладывалось. При б 0 D -*¦ 1/2, R -*¦ 1/2. При б > 1 D " е~2б, Д " 1 -
е_2в. Отметим, что матрица перехода М оставляет инвариантной величину:
\А\г - \В\г = inv = UJ2- \B,V. (8.21)
Позднее мы остановимся на этом обстоятельстве более подробно.
Поскольку физический интерес представляют обычно величины R и D, в
рассматриваемом случае неоднозначность в фазе коэффициентов сшивки а и р,
как видно из (8.20), не существенна.
§ 9. Две точки поворота.
Надбарьерное отражение.
Точность адиабатического инварианта
Перейдем теперь к случаю надбарьерного отражения (см. рис. 3, в). Так как
U(x) действительно, два корня в точках аи а2 комплексно-сопряжены друг
другу. Линии уровня 1, 3, 4, 6 асимптотически приближаются к
действительной оси, которая, в свою очередь, тоже является линией уровня.
Определим матрицу перехода решения, заданного далеко слева от точки О, в
решение далеко справа от точки О (или наоборот). Эта задача, решается
аналогично предыдущей. На линиях 1, 3, ijx- > г|э+, а на, линиях 2, 4
if>+ > г|э_, где знак > означает, что слева стоит экспоненциально
растущее с ростом Ы решение, а справа - экспоненциально затухающее.
31
Пусть на действительной оси в точке Р задано решение
т|з = AiT(>+ + (9.1)
г^± = &_1/2ехр |± i j/с(я)(?г|. (9.2)
На линии 1 имеем (ввиду изменения начала отсчета интеграла в (9.2))
4 = Л1е-б/2, В'х = ВхеЬ1\ (9-3)
26 = i (j) к (х) dx > 0; (9.4)
S
на линии 2 ла линии 3
Аг=А!х + аВ[, Bt = B[; (9.5)
А3 = А2, Вз = В2 + $А2. (9.6)
С линии 3 спускаемся на действительную ось слева от точки О и, заменяя
нижний предел (т. е. начало отсчета) интеграла в (9.2) на О, получаем
А'3 = А3е~т, В3 = В3е6/\ (9.7)
Далее вся операция обхода аналогична проделанному только что полуобходу
(см. § 8). В результате, так же как и для прохождения через барьер, имеем
(Р:Г-:Л
\е ае )
где
а = _ р* = имр(1 + емУ\ (9.9)
<р - по-прежнему неизвестная фаза. Из формул (9.8),
(9.9) и (8.1[7) видно, что полученная матрица перехода М обладает теми же
свойствами, что и в случае прохождения через барьер, и отличается от
