Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
59
В настоящее время мы не располагаем общим решением системы (17.1).
Решение найдено только для частного случая, когда точка пересечения
термов и точки поворота находятся достаточно далеко друг от друга [2].
Для медленных атомных столкновений такое условие является
неудовлетворительным [3], и потому представляет интерес приближенный
метод решения системы (17.1), именуемый классическим или полу-
классическим приближением [4]. Сущность этого метода состоит в том, что
движение ядер рассматривается классически и вводится некоторая средняя
траектория, параметры которой соответствуют некоторым средним
характеристикам электронных термов. Полуклассиче-ское приближение
является весьма интересным методом решения рассматриваемой задачи,
поскольку при определенных граничных условиях и постоянном матричном
элементе взаимодействия показана полная эквивалентность полуклассического
и квантовомеханического методов расчета [4].
Системе связанных волновых уравнений Шредин-гера можно поставить в
соответствие систему связанных осцилляторов с частотами, зависящими от
времени,
fli + (r)i (t) а-, = аа9,
. (17.2)
а2 -j- о>2 (t) а2 = аах.
Энергии Е отвечает некоторое общее для обоих осцилляторов среднее
значение частоты. Системы (17.1) и
(17.2) совпадают с точностью до переобозначений, и вся излагаемая
ниже теория могла бы быть продемонстрирована на системе связанных
осцилляторов. Но исторически сложилось так, что все основные результаты
были получены в квантовой механике. Здесь же была дана довольно простая и
наглядная трактовка основных положений теории в терминах
полуклассического приближения. Поэтому мы считаем целесообразным
остановиться именно на квантовомеханической задаче как наиболее удобной
форме изложения общей теории неадиабатических переходов.
Впервые аналитическое выражение для вероятности такого перехода было
получено Ландау [5, 6]. В своих работах он рассмотрел предельный случай
60
слабой связи. Зинером [7] и Штюкельбергом [2] на основе полуклассического
приближения был рассмотрен предельных! случай сильной связи. Основной
результат для вероятности перехода носит название формулы Ландау -
Зинера.
В последнее время авторы ряда работ (см., например, [3, 8]) пытались
расширить область применимости формулы Ландау - Зинера, ограниченную при
первоначальной ее формулировке. Кроме того, имеется большое количество
конкретных элементарных процессов, сечения которых рассчитаны с помощью
теории неадиабатических переходов. Опубликованная недавно монография [9]
дает полное представление о состоянии данного вопроса в настоящее время.
В настоящей главе нас будет интересовать только методическая часть,
которая, как отмечено выше, представляет не меньший интерес, например,
для задачи
о связанных осцилляторах^
§ 18. Полуклассическое приближение
Рассмотрим медленное движение ядер как классическое, а электронное
движение так, как это принято в квантовой механике. Тогда в
нестационарном волповом уравнении Шредннгера
itidW (г, t)/dt = Не (г, R (0) Y (г, t) (18.1)
гамильтониан оказывается зависящим от времени, что обусловлено временной
зависимостью ядерных координат R(t). Переменная г обозначает совокупность
координат электронов. Решение уравнения (18.1) ищется в виде так
называемой неадиабатической функции
Ч' (г, f) = 2b. (t) exp [- (i/П) j Hnn (R) dt\<p" (r, R).
(18.2)
Здесь Hnn - диагональные элементы гамильтониана
He(r, R(t)) в базисе адиабатических функций <рп, яв-
ляющихся собственными функциями оператора He(r,R):
ЙЛг, R)cpn(r, R) = ?/"<рп(г, R), (18.3>
61
где время фигурирует только в виде параметра. Подставляя неадиабатическую
функцию (18.2) в нестационарное уравнение (18.1), получим следующую
систему уравнений для коэффициентов:
X
exp (i/Й) j" (Нтт Нпп)
dt
¦Ь"
(18.4)
В дальнейшем мы ограничимся приближением двух состояний, когда
учитывается неадиабатическая связь только между двумя электронными
термами. Тогда неадиабатическая функция аппроксимируется выражением вида
t
'Р (г, t) .= аг (t) exp - (i/%) f Ux (R) dt срг (r, R) ¦
+ a2 (t) exp
- (i/ft) Jtfifi?) dt
t
oH%)\u2 (R) dt
Ф2(г, R), (18.5)
¦где ф!,а - адиабатические электронные функции.
Далее нас будут интересовать переходы между состояниями дискретного
спектра. Определяющую роль для вероятности перехода играет точка, в
которой процесс мог бы осуществиться классическим образом. Условие
классической осуществимости перехода требует равенства потенциальных
энергий.
Если между состояниями системы есть переходы, то пересечение уровней
исчезает. В самом деле, предположим, что полный адиабатический
гамильтониан Не можно лредставить в виде некоторого нулевого,
гамильтониана и небольшого возмущения Не = Н0 + V. Кроме того, допустим,
что термы нулевого гамильтониана U°t2 пересекаются в некоторой точке R0.
Матрица гамильтониана Не в базисе функций Ф? и ф(r) имеет вид
/#и(Д) Hn(R)\ а ее собственные значения
-62
ЕЛ 2 = ШД)±ДСДЯ),
(18.7)
U(R) = (1/2)(Яи - Я12), ДЕЯД) =
