Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (12.23) — (12.24) есть, очевидно, хронометрически инвариантные уравнения волнового гравитацион-но-инерциального поля, причем нелинейности справа играют роль источников гравитационно-инерциальных возмущений.
Решение Такено (10.5) также принадлежит к типу N по Петрову. Вычислив для метрики (10.5) тензор угловой скорости абсолютного вращения (12.6), убедимся, что он обращается в нуль: Aik = 0. Но, как показал Зельманов [206], это является необходимым и достаточным признаком того, что в той же области все можно обратить в нуль преобразованием (12.1). Полагая поэтому в дальнейшем S=Ob метрике (10.5), найдем, что скаляры
FiFi--Й'
D =-^Spm- +mp^
удовлетворяют хронометрически инвариантному волновому уравнению
*? G =^L Ь* -ViG-VkM,
где G — любой из хронометрически инвариантных скаляров FiFi и Dii.
Для вектора гравитационно-инерциальной силы волновое уравнение принимает вид
*? Fi = Fi (- 2FjFj + 3*dD + 2DjlDjl - D2) +
+ ш Ык ^m VpIpj - *dD - DjiDH^
откуда, в частности, следует, что источники волновых возмущений гравитационно-инерциального поля зависят от деформации системы отсчета.
144 Решение Петрова (9.15) рассматривалось в другой системе координат Бонди, Пирани и Робинсоном [143]; Синг [172] интерпретировал его на языке «объемных гравитационных волн». Мы запишем его в виде
ds2 = dx°2- dx12 + a dx2 2 + 2? dx2 dx3 + у dx?2, (12.25)
где а, ?, у — функции аргумента х° + х1, связанные одним дифференциальным уравнением [65]. Для этого решения в системе отсчета (12.25) Fi = 0, Aik = 0, а скаляр D имеет вид
D = ^d In (ccr-?2)
и удовлетворяет скалярному волновому уравнению типа (12.20) при а = 1:
= "Vi^VfcZ))1^;
Обратимся теперь к решениям типа T1 по Петрову. Оказывается, что рассматриваемому волновому критерию, в отличие от других общековариантных критериев, могут удовлетворять и некоторые метрики типа T1. Так, метрики
ds2 = -а~Чх°2 +Oidx12+ 4dx22+ vsh2x2dx*2, ds2 = - a"1 dxo2 + adxl2 + rdx22 + r ch2 я2 dx3 2,
где а и Y — функции аргумента х° + х1 (а < 0, у < 0), удовлетворяющие некоторой системе дифференциальных уравнений [94], определяют поля тяготения типа D [207]. Трехмерное пространство системы отсчета является голо-номным (А = 0), и хронометрически инвариантные скаляры!) и FiFi удовлетворяют волновому уравнению (12.20) при а = а:
*V2G - Ar *d*dG = № *ViG*Vfc In X. а2 к а
Специального рассмотрения заслуживает решение Эйнштейна — Розена [187], принадлежащее к типу I по Петрову:
ds2 = 6?2(Y-a) ^X0 2 — dx12) - хх V* dx2 2 - е2« dx3 2, (12.26)
145 где Y и а — функции х1 и хo, удоблеТворяіощйе дифференциальным уравнениям:
a,u ! -OCt00 = 0, (12.27)
T,i - l(«i)2 + (а2)2], Го ^ 2аАх А о. (12.28)
Можно показать [94], что, хотя уравнение «цилиндрических волн» (12.27) и допускает хронометрически инвариантную запись (12.20) при а = 1,
а = № *Vi<x*Vit (а - г) + *да*дг - Cd а)2,
однако ни этому, ни аналогичному уравнению типа (12.20) с другой правой частью и при другом а не удовлетворяют ни хронометрически инвариантные скаляры D и FiF1 (.Aih = 0), ни какие-либо их скалярные функции.
Аналогичный результат имеет место для метрики Ком-панейца [189], обобщающей метрику Эйнштейна — Розена:
ds2 = ос da* 2 - а dx12 - г dx2 2 - 2? dxHx3 - б dx3 2, (12.29)
где а, ?, Y> б — функции я1 и Из уравнений поля можно получить два уравнения «взаимодействующих цилиндрических волн»:
[Xі (PQ -1 Wib - я1 HPQ - 1)-1/2Ло],о = о, (12.30) [X1 {PQ _ Iyf2Qtiu - [(PQ - l)-'/.0(O]tO = о, (12.31) где использованы обозначения
р = г (Тб - я12)-v% ^ = б (гб - 2)-v*.
Как и в случае метрики Эйнштейна — Розена, система уравнений (12.30) — (12.31) допускает хронометрически инвариантную пространственно-ковариантную запись (12.20) при а = 1:
Г = щ^ї KP2 - Ь) я + coT2]* (12.32)
*? б = [(?2 - X) © + яб2], (12.33)
где X, = у8 — ?2, а я и со — некоторые функции от а, ?, Y, б и их первых производных. Однако уравнениям типа
146 (12.20) также не удовлетворяют ни D1 ни FiFi1 ни их скалярные функции.
В заключение этого параграфа обсудим вопрос об общей связи хронометрически инвариантного критерия (12.20) с общековариантным критерием Зельманова (гл. 7), исследованный в работе [165]. Записывая систему из 20 уравнений
gP°Rafrb; pa = 0
в хронометрически инвариантном пространственно-кова-риантном виде, после довольно продолжительных выкладок можно прийти к трем системам уравнений:
(*V2 — *д*д) XU = Aij (шесть уравнений), (12.34) (і)
(*V2 — *агд) Yi* = AW (восемь уравнений), (12.35)
(2)
(*V2 — *<9*<9)Z№ = (шесть уравнений), (12.36)
(з)
где правые части Aii1 Aijk1 AkliI представляют собой хроно-
(1) (2) (3)
метрически инвариантные пространственные тензоры соответственно второго, третьего и четвертого ранга и не содержат производных выше первого порядка от «волновых функций» Xij1 Yiik1 ZkliK В развернутом виде эти уравнения приведены в Приложении II.
Таким образом, любое пространство — время V ^1 удовлетворяющее общековариантному критерию гравитационных волн Зельманова, удовлетворяет также хронометрически инвариантному критерию гравитационно-инер-циальных волн. При этом роль волновых функций в соответствующих волновых уравнениях типа (12.20) играют хронометрически инвариантные тензоры (12.13), т. е. величины X^1 Yijk1 Zkni1 представляющие в данной системе отсчета тензор Римана.
