Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
6. Асимптотические симметрии.
Группа Бонди — Метцнера
На основании теоремы расщепления мы могли убедиться, что на больших расстояниях от системы источников свойства даже асимптотически плоских гравитационных волновых полей оказываются алгебраически сложными. Нетривиальный характер асимптотики полей гравитационного излучения Бонди и Сакса особенно явно выступает при исследовании их асимптотических симметрий.
Действительно, исходя из физических соображений, казалось бы, можно ожидать, что на асимптотической
134 гиперповерхности оо действует группа движений метрики, порядок которой совпадает с порядком максимальной подвижности пространства V4 соответствующего типа, т. е. типа N по Петрову. Однако ввиду того, что на больших расстояниях поле излучения островной системы описывается структурой тензора Римана типа N лишь приближенно, оказывается, что не существует группы движений, которая сохраняла бы асимптотику поля, а также граничные условия. Однако существует группа преобразований координат, удовлетворяющая этим требованиям; для аксиально симметричных островных распределений источников она называется группой Бонди — Метцнера [171]. Эта группа содержит в себе группу Лоренца как подгруппу (не являющуюся, однако, нормальной) и включает в себя, кроме того, бесконечномерную группу «супертрансляций».
В физической интерпретации группы Бонди — Метцнера большую роль сыграл тот факт, что функция информации Cj0 имеет относительно этой группы очень простые трансформационные свойства. Это позволяет выразить в терминах инвариантов группы сохраняющиеся интегральные величины. Обобщение группы Бонди — Метцнера на случай произвольных систем островного типа было предложено Саксом [148].
7. Асимптотические свойства полей Эйнштейна — Максвелла
Метод Бонди — Сакса был обобщен также на случай гравитационного излучения островных систем в непустом пространстве — времени (Козаржевский [201], Хокинг [202], Стэхель [203]). В частности, Козаржевский [201] показал, что асимптотическое поведение гравитационного поля, порождаемого произвольными изолированными системами электрически заряженных тел, также определяется формулой расщепления Сакса. Этот результат представляется естественным, поскольку геодезические лучи являются траекториями распространения как гравитационного, так и электромагнитного излучения.
Аналогия между гравитационным и электромагнитным полями отчетливо проявляется и в их асимптотическом поведении. Так, на основе интегральной формы уравнений Максвелла Гольдберг и Kepp [152] установили, что электромагнитное поле ограниченного распределения зарядов и
135 токов допускает следующее асимптотическое разложение: F^ = V-1N^ + Г2 III* + T-Vixv. (11.40)
Здесь г — аффинный параметр, изменяющийся вдоль градиентных изотропных направлений Za, т. е. вдоль электромагнитных лучей, все компоненты Jyiyt = JflXV] — ограниченные сверху функции, а антисимметричные тензоры N^v и IIIlTv удовлетворяют соотношениям:
N^ = 0, IIIpv = Цх (а — скаляр), (11.41)
в полной аналогии с алгебраическими соотношениями, характерными для тензоров Римана, соответственно, типов N и III по Петрову.
Из формулы (11.40) вытекает, что в системе координат, в которой параметр г характеризует расстояние от системы источников излучения, вдали от системы поле Fixv становится изотропным, т. е. удовлетворяет соотношениям:
I1^Fm = 0, l«Fa? = 0. (11.42)
Однако, как показал Шевретон [149], условия (11.42) являются лишь необходимыми, но не достаточными для плоских электромагнитных волн в пространстве — времени Минковского: для того чтобы электромагнитное поле Fyiyt отвечало случаю именно плоских волн, необходимо и достаточно, чтобы, кроме условий (11.42), выполнялись также условия:
гЛ],о = о, iaFa?t 0 = о. (11.43)
Рассмотрим условия (11.42) — (11.43) в общем случае искривленного пространства — времени. Как показал Марио [260, 261], траектории векторного поля Za, удовлетворяющего соотношениям (11.42), образуют конгруэнцию изотропных геодезических (11.31). Ковариантно дифференцируя соотношения (11.42) и принимая во внимание условия (11.43), получаем:
lWx]:o = 0f Fa? Jfa = о, (11.44)
откуда следует [149], что тензор Zx; <, может быть представлен в виде произведения двух векторов:
h\ о = A0 Zx, (11.45)
136 где Aa- вектор, ортогональный вектору Zx. Из формул (11.45) автоматически следует, что для конгруэнции геодезических, определяемой вектором Za, вращение со, растяжение є и дисторсия <з обращаются в нуль. Это означает, что при бесконечном удалении от системы произвольных заряженных источников электромагнитное и гравитационное поля являются полями плоских волн с общими конгру-энциями геодезических лучей.
ГЛАВА 12
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ И ХРОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
1. Хронометрические инварианты
Предыдущие главы в основном были посвящены исследованию полей тяготения с точки зрения общекова-риантных критериев существования гравитационных волн. Поле тяготения, удовлетворяющее общековариантному волновому критерию, носит волновой характер безотносительно к выбору координатной системы. Представляет, однако, интерес, отказавшись от требования общей ковариантности, сформулировать критерий гравитационно-инерциалъных волн, ковариантный лишь относительно преобразований, связывающих трехмерные координатные сетки, в которых точки избранного тела отсчета покоятся. Такой критерий должен быть, кроме того, инвариантен относительно преобразований, сохраняющих линии координатного времени X01 поскольку они являются мировыми линиями тела отсчета. Иными словами, этот критерий отражает выбор системы отсчета наблюдателей, поэтому выполнение его можно считать признаком реальности волн при заданном выборе тела отсчета; переходом же к другому телу отсчета такие волны, вообще говоря, могут быть устранены вследствие зависимости инерциальных свойств от состояния движения наблюдателей.
