Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2(ft+ 1)JL L = (ті — ft)(їх — ft--f- 1 )L.
аи (їс+l) (к)
Учитывая эту аналогию, можно рассматривать характеризующие тензор Римана величины Фа как решение обще-ковариантного волнового уравнения типа Зельманова (7.4).
Эта аналогия позволяет определить мультипольные моменты аксиально симметричной системы источников следующим образом:
я
монополь (масса) M=--(ф? + 0?) Pl (cos 8) sin 0 <20,
(11.21)
ті
дипольный момент D =--(cos 0) sine de, (11.22)
о
Tt
квадрупольный момент Q =--^ Ф^2 (cos 0) s^n 0
о
И т. д.
Для метрики Бонди (11.3) на основе (11.21) получаем:
Tt
M = Mb+ sin 0 <20, (11.23)
о
где Mb обозначает массу системы по Бонди, определенную формулой (11.12). Аналогично, закон сохранения массы Бонди (11.13) примет вид
= S №00 sine de. (11.24)
Определение (11.21) следует признать более общим, чем определение Бонди (11.12), так как оно не связано с выбо-
126 ром частной системы координат. Согласно интерпретации, предложенной Ньюмэном, величина M может рассматриваться как полная масса, включающая энергию излучения, тогда как величина Мв представляет массу системы в стационарном состоянии («вейлевскую» массу).
3. Гравитационное излучение произвольных изолированных систем. Метрика Сакса
Мы видели, что тетрадные компоненты тензора Римана для метрики Бонди распадаются на три группы, в одной из которых доминирующими на больших расстояниях являются члены порядка г-1, в другой — порядка г~2 и в третьей — порядка г-3. Таким образом тензор Рнмана удалось представить в виде суммы трех членов, пропорциональных соответственно первой, второй и третьей обратным степеням аффинного параметра г:
R^b = T-^Nam + r-MIIa?Y5 + Ia?Y5 -0(гЛ (11.25)
причем оказалось, что -/VapvS, HIa ?Yg, Ia?Ys — некоторые тензоры, обладающие алгебраическими свойствами тензоров Римана, соответственно, типов N, III и I по Петрову. Аналогичное разбиение было установлено Робинсоном и Траутманом для найденного ими решения уравнений тяготения, которое описывает сферические гравитационные волны:
Rafrb = r-Wa?Y6 + г-2 IIIa?Y5 + r3Z?a?Y5 ; (И .26)
здесь Da?V& — тензор, обладающий алгебраической структурой тензора Римана типа D. Следует сказать, что уверенность в физической содержательности этих результатов подкрепляется также тем, что в случае электромагнитного излучения, как показали Гольдберг и Сакс [184], имеет место разбиение тензора поля F^, несомненно допускающее интерпретацию на языке ближней зоны (индукции) и дальней (волновой) зоны. Иными словами, общая физическая аналогия между теорией электромагнитного излучения и описанным выше подходом Бонди — Сакса указывает на правомерность интерпретации результатов Бонди — Сакса в терминах волновой зоны излучения (члены типов N и III) и зоны индукции (члены типов I и D).
127 Действительно, на больших расстояниях от излучающей системы доминируют члены типа N (волновая зона), а на малых расстояниях от источников — члены типа I и D, описывающие свойства стационарного поля (типа Вейля для метрики Бонди и типа Шварцшильда для метрики Робинсона — Траутмана). При этом член Na^yb для метрики Бонди пропорционален О оо» что характеризует связь функции информации Ci0 с асимптотикой поля излучения.
Сакс [185] предложил обобщение разложения (11.25) на случай гравитационного излучения произвольных островных систем.
Легко видеть, что координатные линии ф в системе координат Бонди являются траекториями векторного поля Киллинга [58], нормального к некоторой трехмерной гиперповерхности. Допуская, что метрический тензор ^viv может зависеть не только от и, г, 8, но и от координаты ф, построим более общую координатную систему, которая отвечала бы произвольной системе источников, не обнаруживающей никакой пространственной симметрии.
Пусть и (#*) — скалярное поле, определяющее изотропную трехмерную гиперповерхность (2.15), т. е. удовлетворяющее уравнению эйконала (2.22):
g^UaU? = 0.
Пусть, далее, существует конгруэнция изотропных геодезических линий с направляющим вектором Za = Uftx, ортогональная к гиперповерхности и — const. Введем также 8 и ф — две скалярные функции, удовлетворяющие уравнениям:
Ma = Ja = O. (11.27)
Определим далее скаляр г,
г4 = (К sin В)"1, (11.28)
где
К = (g**BM (g^qVP.v) - (ga?0,a0,?)2 > 0.
Условие К Ф 0 является следствием уравнений (11.27); требование К 0 достаточно, чтобы скаляр г был вещественным и положительным.
Можно показать [185], что асимптотически плоское пространство — время V4 может удовлетворить всем перечисленным требованиям в том и только в том случае, если в
128 координатах Бонди его метрика представима в виде
ds* = Br-1 ехр (2?) du2 + 2 ехр (2?) du dr —
- r2Hab {dxa — Aadu) \dxb - Ab du) (11.29) (a, 5 = 2, 3),
где двумерная квадратичная форма habdxadxb имеет вид
2habdxadxb = [ехр (2у) + ехр (26)] dQ2 + + 4 sh (г — б) sin QdQdrty +
+ [ехр (— 2у)+ ехр (—2 б)] Sin2G dq>2,
а входящие в метрику шесть функций V, Z7a (a = 2, 3), ?, T7 б зависят от всех четырех координат и, г, 8, ф.
