Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Согласно приведенным ранее определениям, значение параметра Ac со-^ветствует точке рс, сопряженной вершине (наблюдателю), тогда и толь-тогда, когда det V(Xc) = 0. Действительно, если события рс и О со-ены, то поле Vа обращается в нуль в точке рс, то уравнение (2.17) т нулевое решение при ненулевом значении ?(0), т.о. det V(Xc) = 0. 38 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Если det V(Xc) = 0, то существует такой ненулевой вектор в «= ?(0), чт V(Xc)(O) = 0, т.е. ?(АС) = 0. Тогда Vq(Ac) = -Zoka, и поскольку kaYa ^ то Zo = 0, т.е. Vra(O) = Ya(Лс) = 0, т.о., существует тождественно ^ равное нулю поле Якоби, которое обращается в нуль в событиях рс и О.
В случае, если Rg V(Xc) = 0, т.е. V(Xc) = 0, то все лучи, проходяцд^ через точку О, пересекаются в точке рс. В этом случае точка рс называете, фокусом (или вырожденной сопряженной точкой). Если Rg V(Xc) = 1, Т|1 сечение пучка лучей вырождается в бесконечно малый отрезок. В зтої, случае рс называется невырожденной или простой сопряженной точкой.
Нетрудно заметить из соотношений (2.11) и (2.18), что изменение ма-трицы описывается следующим соотношением:
V(X) = S(X)V(X). (2.20)
Рассмотрим соотношения, определяющие изменение якобиана. Из опре-деления матрицы V следует, что абсолютная величина ее определителя равна площади сечения пучка света - <5А(А), деленной на величину телесного угла - <50, т.е. I det ?>(А)| = SA/8Q.
В невырожденной сопряженной точке определитель меняет свой знак, а в фокусе его знак сохраняется. Т.о., D(X) содержит информацию о площади <5А(А), также как и информацию о четности, т.е. ориентацию пучка относительно вершины, т.е. точки, где находится наблюдатель. Между вершиной и сопряженными точками площадь <5А(А) описывается уравнениями фокусировки Сакса:
(y/Щу = [Щ^ - Io(A)IlvZI(A). (2.21)
Данное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет C2 - решение на любом отрезке, где [7ї.(А) — Iсг(А)|] непрерывна. Это условие нарушается в том случае, если интервал содержит простые сопряженные точки. Начальные условия для решения уравнения (2.21) следующие: у/A(Q) = 0 и где Q - телесный угол из точки, где находится наблюдатель. Если имеется нечетное число невырожденных сопряженных точек между наблюдателем и пучком, которому соответствует значение А, то необходимо выбрать квадратный корень со знаком в противном случае необходимо выбрать знак "+". Выражение Н — \о\ неположительно! поскольку уравнения Эйнштейна с тензором энергии-импульса идеальной жидкости приводят к тому, что сходимость Il неположительна. То же самое оказывается справедливым и в том случае, когда имеется космологическая постоянная. Тем самым, уравнение (2.21) описывает, каким образом световой пучок фокусируется при заданном значении А, что обусловлено локальной кривизной и скоростью сдвига при этом значении аффинноГ0 параметра. Введем следующее определение:
u;(A) := sign (det P(A))v/| det 2>(A)|.
(2.22) 2 2_ ВьшодУР^^-лиюы 39
абсолютной величины функции w(X) справедливо соотношение
|w(A)| = VMetp(A)I = ^ S A(X)/SQ.
функция гс(А) между сопряженными точками также удовлетворяет T-0-' ю фокусирования Сакса. Начальные значения для функции w еле-
^е:Ц0) = 0>(0) = 1.
2 2 2 Пучки света вблизи вершин и сопряженных точек
Введем следующие предварительные определения. Для действительной 2 х 2-матрицы А определим сходимость - т, вращение и и сдвиг Г і и Гг и запишем их как действительную и мнимую часть комплексных чисел Л и
г соответственно,
т(А) := і(ац +a22)w(;4) := i(ai2 -a2i); Л := т(А) + іш(А),
і z
T1(A) := i(an - a22); T2(A) := I(a12 + a21); T(A) := Ti(A) + ІГа(А).(2.23)
Заметим, что tr A = 2т = 2Ue Л(А) и det A= |Л(Л)|2-|Г(Л)|2. Рассмотрим преобразование матрицы А с помощью матрицы вращения
т.е. если А' = R~lAR, то имеется инвариант относительно вращения (Л[л'] = Л[А]), а Г преобразуется следующим образом: Г[А'] = Г[А]е2'в. Т.о., величины Л и |Г| имеют геометрический (координатно-независимый) смысл для отображения, определяемого матрицей А, в то время как фаза определяет систему координат. Используем эти определения для матриц
SkT-.
Л[5](А) = 6»(А) є R, Г[5](А) = -<т*(А), (2.25)
AfTl(A) = TJ(A) є R, Г[7](А) = -f (X). (2.26)
Если в качестве аргумента комплексно-значной функции Л взять матрицу коои, то можно ввести для краткости записи следующее обозначение Л := Л[®], тогда Л(А) = AfPJ(A), A(A) = Л[?>](А), и аналогичные соотношения справедливы для Г.
Данный геометрический формализм очень удобен для операций над матрицами. Так, при умножении действительных 2 х 2-матриц А и В
Л[АВ] = Л[Л]Л[В] + Г*[Л]Г[В], (2.27)
Т[АВ] = Г[Л]Л[В] + Л*[Л]Г[В]. (2.28)
чТоб
Чую Ы П°ЛУЧИТЬ геометрическую интерпретацию Л и Г, рассмотрим поляр-Декомпозицию матрицы V. Если V ф(Э, то существуют единственные 40 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
числа 61,62,61 > 62(61 > 0) и единственные углы ф, 0, 0 < ф < ж, 0 < ^ такие, что V = R(O)Bibub2, ф), где R - матрица вращения и B= Bti '
В =*(-*)( о' (2-?)
В полярной декомпозиции 61,62,6 - координатно инвариантные чисда а угол ф зависит от выбранной системы координат. Зависимость {Л, Г} Q, {61,621 0, ф} может быть получена непосредственной подстановкой
