Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим траекторию луча света (описываемую кривой 70) и обозначим через Ya любой вектор (поле Якоби) девиации, связывающий 70 с Другой светоподобной геодезической из своей окрестности. Тогда kaYa -константа на 70. Если рассмотреть 4-скорость Ua наблюдателя в событии P на кривой 7о, то можно получить, что Ya - пространственно-подобный вектор для вектора Ua, т. е. UaYa = 0.
Введем следующее определение: что два события р, q сопряжены на 70, если существует тождественно не равное нулю поле Якоби, которое есть Нуль^в точках р и q. Для такого поля Якоби справедливо соотношение a^ = 0- Вектор отклонения, удовлетворяющий последнему уравнению, связывает лучи, содержащиеся в одной и той же фазовой гиперплоскости — const. Эти семейства будем называть пучками. Для векторов девиации имеет место соотношение kaYa = 0, и размер, форма и ориентация пучка зависят от 4-скорости наблюдателя.
Выбрав 4-скорость Ua наблюдателя в событии р на кривой 70, можно ьібрать векторы девиации для всех лучей в окрестности. Кроме соотноси* kaYa : о, выполнено также UaYa = 0. Такие векторы образуют ерное пространственно-подобное подпространство касательного про-р ства Mp в точке р, называемое экраном, адаптированным к fcQ и Ua. ^смотрим нулевой конус будущего Cs+ для события S, т.е. всевоз- 36
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
МОЖНЫе лучи, испускаемые ИЗ ТОЧКИ, соответствующей событию 3. K0 нус прошлого С0~ соответствует всевозможным событиям, которые Могу, быть наблюдаемы в событии О. С0~ образуется всеми нулевыми геодездо^ скими, заканчивающимися в событии О. Множество всех событий, Cortpi, женных с вершиной О на таких лучах, образует каустику С0~. С0~ имес-, форму гиперконуса только между О и первым листом каустики. Затещ это многообразие может бифурцировать и самопересекаться. В этом и со. стоит теоретическое основание феномена появления кратных изображений при гравитационном линзировании.
Рассмотрим наблюдателя, обладающего скоростью Ua0 в точке О, UaoUoa = 1 и световой конус прошлого. Выберем аффинный параметр \ этих лучей т.о., что 1) А = О в точке О, 2) Л увеличивается в прошлое 3) в точке О имеет место IiaUa0 = —1. Тогда к" : dxa/d\ направлен в прошлое, и для событий на C0-, бесконечно близких к точке О, d\ характе-ризует расстояние от точки О, измеренное выбранным наблюдателем. Величина ка связана с волновым вектором следующим образом: ка = -Uoka, если wo - частота, связанная с волновым числом ка в событии О. Заметим, что величина ка является кинематической в том смысле, что все монохроматические волны движутся в направлении, определяемом этим вектором. Пусть 7о описывает траекторию луча, и пусть Ua параллельный перенос на 7о вектора Ua0. Вдоль 70 выберем ортонормированный базис (Eai, Ea2) на экранах, адаптированных к векторам ка и Ua. Векторы девиации на пучке с "центром" 7о могут быть записаны как Vа = —?iEia — ?2?2а — ?ок", (компоненты ?3Ua нет, поскольку справедливо соотношение UaYa = 0). Тогда компоненты экрана меняются в соответствии с соотношением
І — Si] = Е,ака.фЕ/,
где точка означает дифференцирование по отношению к аффинному параметру. В матричной форме последнее уравнение имеет вид
І =SC (2.11)
Матрица оптической деформации определяется с помощью оптических скаляров Сакса, т.е. скоростью расширения пучка 0(A) = каа/2 и комплексной скоростью сдвига
а(\) = і^е*а(Л)е*^(Л), еа = Е,а+іЕ2а.
В соответствии с введенными ранее определениями, можно определить матрицу
СШ _ ( [0(A) - Tie O-(A)] Xm а(\) \ 12)
Xma(X) [0(A) + Tle <т(А)] ) ' '
Поскольку ка = -S1C - градиент фазы, то ka;? = —к/з;а. Ясно, что <5 ' симметричная матрица. Дифференцируя по А соотношение (2.11), получив
?(Л) = Т?(А), (2.13) 37
52 = T- Вводя обозначения H := в + в2 + \cr\2, T ¦.= b Jr 2ва, можно где <5 + ноаЖение для оптической приливной матрицы T
получить *
ТШ_МЛ(А) "as^a)] lm^ ^ (2 14)
TW-у ImF(X) [Щ\) + Re Г(\)] J ' >
где
H(X) = -l^kp(X)P(X), (2.15)
J7(X) = ^Ca?^ta,(\)k?(\y(\)ks(\). (2.16)
Оптическая приливная матрица симметрична вследствие симметрии тензора конформной кривизны. Уравнения для ЩХ) и ^r(A) определяют, каким образом тензор Риччи и тензор конформной кривизны влияют на эволюцию бесконечно малого светового пучка. Эти уравнения эквивалентны уравнению девиации геодезических (уравнению Якоби) для экранных векторов.
Из линейности уравнения Якоби следует, что его решение связано с начальным условием в := ?(0) линейным преобразованием, зависящим от А, т.е.
^(X) = V(X)O. (2.17)
Поскольку ?(0) = 0 и ?(0) = в, то V(X) определяется или дифференциальным уравнением
V(X) = T(X)V(X)B (2.18)
с начальными условиями V(O) = 0, V(O) = I, или эквивалентным ему линейным дифференциальным уравнением
V(X) = Xl+ [Х dX'(X — X')Т(X1)V(Xі). (2.19)
Jo
Заметим, что в отличие от S и Т, матрица V, вообще говоря, не симметрична. Из обыкновенного дифференциального уравнения для V(X) (2.18) следует, что
1). Если T(A) непрерывно дифференцируема к раз, то V(X) непрерывно Дифференцируема к + 2 раз. 2). VtV — VtV - первый интеграл отображения Якоби. Действительно, при A = O (как следует из интегрального Уравнения (2.19)) справедливо равенство I1 = VrV - VrV = 0. Нетрудно Литься в том, что производная от Ii не зависит от времени, тем самым 1 первый интеграл отображения Якоби.
