Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
остается функция Линдхарда, с которой мы уже сталкивались во Введении, и
выражение (3.31) примет вид
90
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Окончательно получаем для eiq):
(3.33)
где
(3.34)
Функция (3.33) называется диэлектрической проницаемостью по Линдхарду
[129, 10], хотя фактически впервые ее получил Бардин [130]. Она также
называется хартриевской функцией, поскольку при ее построении
предполагалось, что возникновение экранирующей плотности приводит к чисто
кулоновскому потенциалу F3HP. На самом деле изменение электронной
плотности меняет и обменный потенциал в газе электронов, и это надо
учитывать. Кроме того, следует учесть изменение корреляционного
потенциала.
Изложение соответствующей теории увело бы нас слишком далеко. Подробно
она обсуждается в [60, 68, 131, 132], мы же приведем здесь лишь основные
результаты.
Учет обменно-корреляционного потенциала приводит к замене A{q) на
A{q)p{q), где p(q) различно для разных моделей обменно-корреляционного
потенциала (соответствующую диэлектрическую функцию помечают звездочкой,
т. е. в (3.25) входит е*):
Обычно для piq) используют выражение, полученное Хаббардом [133, 134], но
имеется также и много других формул, например [135-146] (их краткая
сводка имеется в [68, 147]). Недавний анализ в работе [146] показывает,
что весьма удачным является учет корреляционных эффектов, проведенный в
работе [138].
Влияние выбора конкретной модели учета многоэлектронных эффектов на
результаты расчета атомных свойств кристаллов исследовано сравнительно
мало [148-154].
Заметим, что поскольку VBP{q) = VB0B(q)/s*{q), то функция a(q), введенная
в (1.39) для отношения VB0B(q)/VKP(q), в диэлектрическом формализме
становится равна e*iq). Если бы экранирование учитывалось другим методом,
то в формулы (1.39) - (1.41) по-прежнему входила бы функция %iq), хотя
e*(q) не появлялась бы.
4. Зависимость диэлектрической функции от Исследуем теперь зависимость
е от q. При малых q
(3.35)
(3.36)
и е(д) расходится, как q~2.
§ 7. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
91
В точке q - 2kF % конечно, но d%/dq имеет логарифмическую особенность.
Эта особенность очень слаба, на графике e(q) она практически незаметна
[10, 60, 77], но ее существование сказывается на свойствах кристалла,
таких, как коновские особенности в фононных спектрах [10, 60, 77].
При q -*¦ °°
%(q) - 2/q2, (3.37)
и е(<?) 1, т. е. для больших q (q~>2kF) отличие F"p(g) от
1/ион(<7) исчезает.
Мы видим, что е(д) является монотонной функцией q и не меняет знака.
Экранирование затрагивает малые q. При фурье-преобразовании к реальному
пространству малые q соответствуют большим г, т. е. экранирование
устраняет кулоновское дальнодействие.
Для чисто кулоновского потенциала (1.26), внесенного в газ свободных
электронов, теория экранирования с учетом (3.33), (3.34) дает
<3-38)
где
a?(q) = - 4nZe*%(q)/Q > 0. (3.39)
Выражение (3.38)-просто обобщенное выражение (1.25). Если а не зависит от
q, то мы приходим к приближению Томаса - Ферми: экранированный
кулоновский потенциал имеет вид
(1.24), т. е. дальнодействие типа 1/г действительно устранено.
Наличие логарифмической особенности в s(q) приводит к осцилляциям
экранирующего заряда в координатном пространстве. Это можно увидеть,
совершая фурье-преобразование (3.25):
F"p (г) = Й j¦<k + qJ(^°Hlk> e~i4rd3q. (3.40)
Перейдем в (3.40) к сферическим координатам и дважды проинтегрируем по
частям [60, 77]. Тогда появятся вторые производные от e(q). Все остальные
функции слабо зависят от q и могут быть вынесены за знак интеграла. В
пределе г -*¦ °° получаем:
fkp (г) -> 3Zg2 2>)Л°!.М (341)
(Т) kF еЦд = 2кР) (2kFrf '
Это - фактически то же самое поведение потенциала и плотности заряда, что
и в теории рассеяния (§ 2, (2.94)).
Первопричина осцилляций в обоих подходах одинакова -обрыв энергетического
распределения электронов при энергии Ферми. В теории рассеяния этот обрыв
проявляется непосредственно.
92
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
В диэлектрическом формализме этот обрыв приводит к сингулярности е(д) при
q = 2kF, а уж эта сингулярность сказывается при проведении фурье-
преобразования (3.40).
Было бы неправильно считать, что на больших расстояниях от иона будут
только осцилляции типа (3.41). Можно показать [155], что быстрое спадание
е(д) с q (даже без учета сингулярности при q = 2kF) тоже приводит к
осцилляциям Т/,ф с г, но эти осцилляции будут модулированы не г-3, а
экспонентой, т. е. учет
(3.37) приводит к осцилляциям хвоста юкавского потенциала
(1.24).
Если потенциал У'ф содержит резонансное состояние с энергией Ел, то
вблизи Ei резко меняется энергетическое распределение электронов.
Следовательно, в реальном пространстве доляшы возникнуть дополнительные
осцилляции плотности заряда и потенциала Укр, подобные тем, что в формуле
(3.41), куда вместо kF войдет УЕЛ. Это было показано Реннертом [156].
Из (3.41) и (1.41) следует, что потенциал косвенного межатомного
взаимодействия Фь3(?) обладает фриделевскими осцилляциями. Если же
