Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
потенциалом FBp, который обусловил появление экранирующего заряда, и тем
кристаллическим потенциалом, который складывается из соответствующего
§ 7. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
87
экранирующего и исходного. Это утверждение позволяет считать величины
Бкр, входящие в (3.17) и (3.20), одинаковыми. Окончательно получаем из
(3.17)-(3.20):
у. ф = у* он + XsFItp. (3.21)
Заметим, что мы выразили кристаллический потенциал "сам через себя". Мы
могли бы этого не делать, а использовать для построения Бэкр те или иные
модели. Именно с таким подходом мы столкнемся в § 8, и он окажется более
гибким, чем рассматриваемый в данном параграфе, так как мы сейчас будем
вынуждены прибегать к различным упрощениям самосогласованной модели
экранирования из-за чрезмерной сложности получающихся выражений.
Введем операторы
е = 1 -АВ, г~1 = (1-АВ)-1. (3.22)
Очевидно,
еУкР = уиоа, 7кр == е-1Уиок. (3.23)
Оператор е называется диэлектрическим оператором. Формулы (3.17) - (3.23)
составляют основу так называемого диэлектрического формализма. Они
справедливы как по отношению к потенциалам, так и по отношению к
псевдопотенциалам, так как нет ограничений на силу исходного потенциала
Бион. Однако вычислительные трудности при работе с е таковы, что без
разложений по малому параметру обойтись не удается, что и вызывает
применение псевдопотенциалов. Формализм диэлектрического оператора
используется только в теории псевдопотенциала, а для расчетов зонных
структур1) применяют другие методы построения кристаллического
потенциала; в § 9 мы будем сравнивать эти подходы.
3. Диэлектрическая функция e(q). Перейдем теперь к конкретным
аппроксимациям. Будем использовать матричное представление операторов.
Матрицы операторов Бион и Бкр составлены из формфакторов потенциалов. Из
(3.22) получаем
2<k+ q|e|q'><q'| F*p | k> = <k + q | | k>.
q'
В общем случае матрица е недиагональна. Для построения самосогласованного
потенциала Укр надо получать обратную диэлектрическую матрицу, что
представляет собой сложную задачу,
!) Имеются в виду методы, использующие подход теории рассеяния, а именно
- метод присоединенных плоских волн, метод Корринги - Кона - Ростокера и
родственные им.
88 гл. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
поскольку (как мы убедимся ниже) оператор В нелинеен по У14*. Обращение е
до сих пор проводится приближенно [126-128].
В теории псевдопотенциала используется простое предположение о
диагональности матрицы е. В тех случаях, когда каким-либо образом
учитывают недиагональные элементы е, говорят о "недиагональном"
экранировании. Итак, в приближении диагонального экранирования мы
приходим к диэлектрической функции e(k, q):
<k + q|e|q') = e(k, q)6k+q,q'. (3.24)
Тогда из (3.23) и (3.24) получаем основную формулу теории
диэлектрического экранирования:
<k -f q l^Kp I k> = -"k±Bq(l^)H|k>- (3-25)
Эта формула близка по смыслу к формулам электростатики, в которых для
определения поля в среде надо разделить значение поля в вакууме на
диэлектрическую проницаемость среды. Диэлектрическая функция s(q = 0)
есть не что иное, как диэлектрическая проницаемость. Для металлов е(<7 =
0) = °°, что означает полное экранирование внешних полей.
Приступим к вычислению матриц А и В. В дифференциальной форме уравнение
Пуассона (3.18) имеет вид (в системе СГС)
v2F3Kp(r) = - 4яе2рэкр(г). (3.26)
Переходя к фурье-компонентам потенциала п плотности, имеем
F3Kp (q) = -j- рэкр (q), (3.27)
Я
<k+q|3|q') = ^6w. (3.28)
Для вычисления В следует определить рэкр через возмущающий потенциал Укр.
Для этого выпишем волновую функцию 'Р*1' в первом порядке теории
возмущений, затем построим кристаллическую плотность (с учетом спина)
ркр(г) = 22|^р(г)|а (3.29)
к
и вычтем из рнр исходную однородную плотность, чтобы получить рЭКР.
§ 7. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
89
Итак,
ад= |к>- ^<ь+,д1к.кр1к>|к + q>,
- / _ Л 1г *"
4^0 eq - к
(3.30)
а|^|к + ,>
- к2
е~'гчг сРк.
Это выражение мы фактически уже получали в теории рассеяния (§ 4). К нему
можно прийти, используя выражение (2.112) для волновой функции и прибегая
к борновскому приближению (2.120). Тогда суммы по q в (3.30) будут
следствием использования функции Грина (2.122), а не применения первого
порядка теории возмущений.
Имея в виду (3.25), следует перейти к обратному пространству. Тогда суммы
по q исчезнут:
В интеграле "суммирование" проводится по всем к; в третьем члене ничего
не изменится, если заменить к на -к. Тогда третий член окажется эрмитово-
сопряженным второму. Для эрми-товских потенциалов эти члены будут равны.
В результате имеем
Мы получили требующееся соотношение (3.19). Если формфактор потенциала
зависит от к, то для проведения интегрирования надо знать эту
зависимость. Заметим, что оператор В не только нелинеен по степеням Евр в
силу теории возмущений, но для нелокальных потенциалов это еще и
интегральный оператор.
Для локального потенциала выражение (3.31) упрощается, так как <k +
qlFBP|k> = FKP(q), и можно вынести FKP(q) из-под знака интеграла. Тогда
