Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 5
На рис.6.21 представлено фото поперечного сечения слоистой структуры, полученное методом фазового контраста", а на рис. 6.22 показано измеренное распределение интенсивности фундаментальной поверхностной волны.
ЗАДАЧИ
6.1. Запрещенные зоны в одномерных периодических средах. Пусть электромагнитное излучение распространяется в одномерной периодической среде с диэлектрической проницаемостью
e(z) = e(z + л),
причем ось Z совпадает с направлением распространения электромагнитной волны.
а) Покажите, что конструктивная интерференция при отражении света имеет место, когда выполняется условие Брэгга
аг. 2ттт A? = Ik--т- = 0 ,
которое можно также записать в виде Ik - mg\ = к. Физически это означает, что пространственные гармоники к и к — mg резонансно связаны.
б) Предполагая, что свет падает теперь под углом в, покажите, что условие Брэгга A? = 0 согласуется с выражением (6.1.8).
в) Пусть W0 — центр запрещенной зоны; покажите, что
где g = 27Г/Л.
г) Пусть Kj — мнимая часть волнового числа в запрещенной зоне, так что
К = ig + IKi.
" Или теневым метолом. — Прим. перев. Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
233
Покажите, что связь между Л", и со дается выражением
Заметьте, что это выражение описывает эллипсоид с центром со = со0 и Kj = 0. д) С помощью выражений, приведенных в п. г, покажите, что ширина запрещенной зоны дается выражением
а максимальное значение Kj равно
6.2. Полуволновая среда. Среда, в которой пространственный период изменения диэлектрической проницаемости (показателя преломления) равен половине полного периода, называется полуволновой средой. Иными словами, профиль показателя преломления такой среды дается выражением
1 ?i
( )max = *8 ~
n(z)~
w2, 0 < Z < и,, ^A < z < Л,
причем
n(z + Л) = n(z).
а) Пусть f(z) определена следующим образом:
причем/(г + Л) = /(г). Покажите, что
I2(Z) = *(«! +я?)+ И"! -«?)/(*)•
б)
Покажите, что фурье-разложение функции f{z) имеет вид ft \ y^ '0 ~~ cos '7o ,277-1
/, exP -ilTz.- і 234
Глава 5
в) Покажите, что ширина первой запрещенной зоны (/=1) для этой среды дается выражением
Д«>8ар = 2 Aw
Wn 77 П
6.3. Матричные элементы.
а) Получите выражения (6.2.12) для матричных элементов А, В, С, D.
б) Получите выражения (6.2.14).
6.4. Елоховские волновые числа.
а) Выведите уравнение (6.2.21).
б) Найдите решения (6.2.22)-(6.2.24).
в) Получите явные выражения для cosKA, используя матричные элементы (6.2.12) и (6.2.14) для ТЕ- и TM-волн и дисперсионное уравнение (6.2.24).
г) Покажите, что в случае нормального падения (kv = 0) выражения, полученные в п. в, сводятся к (6.2.26).
д) Покажите, что для волны, падающей под углом Брюсте-ра [k = (ы/с)п2йпвв], блоховское волновое число всегда вещественное. [Указание: B = C = 0, AD = 1.]
6.5. Четвертьволновый массив. Пусть имеется периодическая слоистая структура, состоящая из двух чередующихся диэлектрических сред, профиль показателя преломления которой определяется выражением (6.2.1).
а) Используя выражения, полученные в задаче 6.4 (п. в), покажите, что максимум величины Icos^AI достигается при
киа = §7Г, І7Г, ...
и
k2zb = їтгЛтг.Ітг, ....
Слоистая структура, удовлетворяющая этим условиям, называется четвертьволновым массивом.
б) Получите выражения для максимальных значений cos К А как для ТЕ-, так и для ТМ-волн.
в) Покажите, что при нормальном падении эти выражения сводятся к (6.2.29). Распространенно электромагнитных ноли в нерполнчеекпх срелах
235
г) Покажите, что амплитуда затухающей блоховской волны при нормальном падении на четвертьволновый массив уменьшается в п2/п, раз на каждом периоде (положите пх < «,).
6.6. Сохранение энергии мод.
а) Покажите, что уравнения связи одинаково направленных волн (6.4.27) совпадают с условием сохранения энергии (6.4.29).
б) Покажите, что общее решение [выражения (6.4.30)] этого уравнения также подчиняется условию сохранения энергии (6.4.29).
в) Покажите, что уравнения связи противоположно направленных волн (6.4.33) совпадают с условием сохранения энергии (6.4.34).
г) Покажите, что общее решение [выражения (6.4.35)] также согласуется с (6.4.34).
6.7. Вращение кристаллической пластинки. Пусть ф — азимутальный угол кристаллической волновой пластинки.
а) Покажите, что диэлектрический тензор определяется выражениями (6.5.4) и (6.5.6).
б) Докажите, что диэлектрический тензор является симметричным.
в) Докажите, что след диэлектрического тензора остается неизменным.
г) Покажите, что если угол ф мал (т. е. ф <? 1), то возмущение диэлектрической проницаемости существенно лишь для недиагональных членов.
6.8. Светофильтры Шольца.
а) Покажите, что (6.5.19) эквивалентно (5.3.18).
б) Покажите, что полоса пропускания фильтра Шольца обратно пропорциональна длине периодической структуры.
6.9. Брэгговские отражатели.
а) Выведите выражения для постоянных связи как для ТЕ-, так и для TM-волн [выражения (6.6.5)].
