Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Величина фазового рассогласования A? дается выражением
A? = lkcose- = 2(я^jcos0 - «(х)' (6'6>6)
где А — период слоистой структуры, а к — волновое число, определяемое выражением (6.6.4). В соответствии с выражением (6.6.5) брэгговское отражение четных порядков отсутствует, поскольку при т = 2, 4, 6, ... мы имеем к = 0. Это отвечает случаю, когда толщина каждого слоя приблизительно составляет целое число длин волн, что приводит к нулевому отражению.
Для того чтобы получить выражение для коэффициента отражения, предположим, что для света, падающего при z = 0, выполня- Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
213
ются следующие граничные условия: Ai(O) = 1,
1 (6.6.7)
A1(L) = О,
где Л, — амплитуда падающей волны, a A2 — амплитуда отраженной волны. Используя (6.4.35) и (6.6.7), получаем решение уравнений связанных мод (6.4.33):
A (z) = c/<Afl/2)z*ch S(L ~z) + '(A?/2)shs(L - z) 1 sch sL + i(A?/2)shsL
(6.6.8)
A2(z) = e-'WV* ~iK*shs(L - z)
schsL + i(A?/2)shsL
где s дается [так же, как и в (6.4.36)] выражением S2 = к*к — — (А/3/2)2, а А/3 — выражением (6.6.6).
Коэффициент отражения брэгговского отражателя определяется следующим образом:
R =
A2(O) 2
A1(O)
(6.6.9)
В соответствии с (6.6.8), его можно записать в виде
_-. (6.6.10)
S2Ch25L + (A?/2)2 sh2sL
Максимальное отражение имеет место при A? = 0:
Amax = th2 IxIi- (6.6.11)
На рис. 6.13 построена зависимость вычисленных значений коэффициента отражения от A?L, откуда видно, что коэффициент отражения является четной функцией величины А/3. Пусть — частота, при которой удовлетворяется условие Брэгга (6.6.6). Тогда А/3 можно записать в виде
A? = - Wm)cos 0. РИС. 6.13. Коэффициент отражения от брэгговского зеркала, рассчитанный с помощью теории связанных мод (UlL = 2,0).
Периодическая слоистая среда
РИС. 6.14. Интенсивности падающей н отраженной волн в периодической слоистой среде при ДЗ = 0. Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
215
Спектр состоит из основного пика с отчетливым максимумом и ряда побочных пиков. Ширина основного пика приблизительно равна
A? = 4M,
(6.6.12)
поскольку при A? = ± 21 к I параметр 5 обращается в нуль и коэффициент отражения равен
R =
к* к L2
1 + к*кЬ2 '
(6.6.13)
Коэффициент отражения (6.6.13) обычно мал, поскольку в соответствии с (6.6.11), чтобы получить большой коэффициент отражения, должно выполняться условие IkIL > 1. Следовательно, выражение (6.6.12) представляет собой хорошее приближение для ширины пика. Относительную ширину полосы Дсо/со можно получить из выражений (6.6.5), (6.6.6) и (6.6.12):
\n\~n2
Aw
W
TTmcos2B п\ + п2
(ТЕ),
«їі
Trmcos2O п\ + п2
cos 20 (TM),
т = 1,3,5,....
(6.6.14)
Эти выражения согласуются с (6.2.34) для случая нормального падения и т = 1, т. е. определенная в (6.6.14) ширина полосы равна размеру (в единицах со) запрещенной зоны. Отсюда следует, что частоты, попадающие в запрещенную зону периодической среды, которые отвечают затухающим волнам, при падении на такую среду испытывают значительное отражение.
В стороне от основного пика при A? = 0 спектр отражения также состоит из ряда побочных максимумов по обе стороны от основного пика. Эти побочные пики имеют место приблизительно при sL = i(p + 1/2)іг (р = 1, 2, 3, ...), что соответствует A? = = ±2[к*к + (р + l/2)2(ir/L)2]I/2. В соответствии с (6.6.10) максимальный коэффициент отражения для этих побочных пиков запишется в виде
I^l2
R
(р + i)V + IkLI2
(6.6.15)
Эти побочные максимумы становятся существенными при I kL I > > 7г/2. Действительно, при IkLI = ж/2 максимальный коэффици- і 216
Глава 5
ент отражения в первом побочном пике достигает 10%, в то время как коэффициент отражения в основном пике в этой же точке составляет лишь 84%. Коэффициент отражения обращается в нуль при sL = iq-K (q = 1, 2, 3, ...), что соответствует A? = ±2(к*к + + (qir/L)2)U2.
На рис. 6.14 построены графики для энергии мод 1^4,(^)12 и \A2(z)\2 в этом случае. При достаточно больших аргументах гиперболического косинуса и гиперболического синуса энергия падающей моды экспоненциально затухает в области возмущения. Однако такое поведение обусловлено не поглощением, а отражением энергии в моду A2, распространяющуюся в обратном направлении, как показано на рисунке.
Из выражений (6.6.6) и (6.6.8) нетрудно показать, что зависящая от Z часть волновых решений в периодической слоистой среде экспоненциально зависит от постоянной распространения
К = ксоьв ± is = ± iyjК*К - (х)2- (6.6.16)
Следует заметить, что в диапазоне частот, удовлетворяющих условию ІД/ЗІ < 21к1, величина К имеет мнимую часть. Она отвечает так называемой запрещенной области, в которой волна затухает, как показано на рис. 6.14, и которая формально аналогична энергетической щели в полупроводниках, где периодическое кристаллическое поле приводит к тому, что постоянные распространения электронов становятся комплексными. Заметим, что для каждого значения т (т = 1, 2, 3, ...) существует запрещенная зона, центральная частота со0 которой удовлетворяет условию k cos в = = т7г/Л. Исключение составляют значения т, для которых величина к равна нулю. Возвращаясь к выражению (6.6.16) и используя (6.6.4) и (6.6.6), имеем
