Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
6.4. ТЕОРИЯ СВЯЗАННЫХ МОД
В разд. 6.2 было получено точное решение задачи о распространении электромагнитного излучения в периодической слоистой среде. Существует, однако, много периодических сред, для которых можно получить лишь приближенные решения системы уравнений Максвелла. Для решения этой задачи обычно используют два подхода. Первый из них основан на формализме блоховских функций, рассмотренном в разд. 6.1, а второй — на теории связанных мод. В теории связанных мод периодическое изменение диэлектрического тензора рассматривается как возмущение, которое приводит к связи между невозмущенными нормальными модами структуры. Иными словами, диэлектрический тензор как функция пространственных координат записывается в виде
е(х, у, z) = е0(х, у) 4- Де(х, у, г), (6.4.1)
где е0(г, у) — невозмущенная часть диэлектрического тензора, а Де (г, у, z) — периодический в направлении оси г тензор, являющийся единственной периодически изменяющейся частью диэлектрического тензора. Сравнивая (6.4.1) с фурье-разложением величины Е(Х, у, z), приведенным в (6.1.10), нетрудно видеть, что Е0(х, у) представляет собой нулевой член ряда, а остальные члены входят в ДЕ(Х, У , z). 196
Глава 6
Предположим, что распространяющиеся нормальные моды в невозмущенной диэлектрической среде, описываемой диэлектрическим тензором е0(х, у), известны. Поскольку невозмущенная диэлектрическая среда однородна в направлении оси г [т. е. Эе0(лт, y)/dz = 0], нормальные моды можно записать в виде
,г)
(6.4.2)
где т — модовый индекс, который может принимать либо непрерывные значения для неограниченных мод, таких, как плоские волны, либо дискретные значения для локализованных мод, например типа волноводных. Эти нормальные моды удовлетворяют уравнению
— + — + ш2це0{х, у) - ?l
дх
ду
Ет(х,у) = 0,
(6.4.3)
где предполагается, что (V-E) = 0 и уравнение (6.4.3) является приближением волнового уравнения (1.4.7) (см. разд. 2.1). Если при z = 0 возбуждается произвольное поле с частотой со, то поле, распространяющееся в невозмущенной среде, всегда можно представить в виде линейной комбинации нормальных мод:
E=IXE т(х,у)е^'~^\ (6.4.4)
т
где Am — постоянные. Такое разложение возможно благодаря тому, что эти нормальные моды образуют полный набор. Данные моды обычно нормируют таким образом, чтобы поток энергии в направлении оси г был равен 1 Вт. Следовательно, условие ортогональности этих мод можно записать в виде (см. разд. 11.1)
^f%xnt)tdxdy = Slkt (6.4.5)
где Hit — магнитное поле, связанное с модой Ejt. Если V-E= 0 и моды Em удовлетворяют уравнению (6.4.3), то это соотношение ортогональности принимает вид (см. разд. 11.1)
/Е*(х, у) • Е,(х, у) dx dy = ^jSkh (6.4.6)
где Skl — дельта-символ Кронекера для локализованных мод и Распространение электромагнитных волн в периодических средах
197
дельта-функция для неограниченных мод. Если при Z = O возбуждена только одна мода, например мода E1 (х, у)е *z\ то при распространении через невозмущенную среду электромагнитная энергия будет оставаться в этой моде.
Рассмотрим теперь распространение невозмущенной моды E1 (х, y)e^'~?xi) через возмущенную среду, описываемую диэлектрическим тензором ?0(х, у) + Ae(х, у, Z). Наличие возмущения диэлектрического тензора Де(х, у, z) приводит к новому возмущению поляризации:
Если эта поляризационная волна, действующая как распределенный источник, может перекачивать энергию в некоторую другую моду Е2(х, у)е'<ш' ?ll) (или из нее), то можно говорить, что диэлектрическое возмущение Де(х, у, г) приводит к связи (т. е. вызывает обмен энергией) между модами E1 и E2. Определим теперь, при каких условиях имеет место такая связь.
Обмен энергией между невозмущенными модами, обусловленный возмущением диэлектрического тензора, аналогичен переходу между состояниями атома под действием нестационарного возмущения. При этом метод расчета, который иногда называют методом вариации постоянных, является весьма простым. Он состоит в том, что вектор электрического поля электромагнитной волны записывают в виде суперпозиции нормальных мод, отвечающих невозмущенному диэлектрическому тензору, причем коэффициенты такого разложения, очевидно, зависят от г, поскольку при Ae Ф О
ДР = Де(х, у, z)E,(x,
волны Ew (х, у)е
уже не являются независимыми модами:
e= ix1(z)eJx,
(6.4.7)
т
Подставляя выражение (6.4.7) в волновое уравнение
(V2 + <oV[e0(x, У) + Де(х, у, г)]}Е = О
(6.4.8)
и используя (6.4.3), получаем
I ^iAk-2i?± Ak E к(х,у)е-^' =
= -(о2МІДе(х, у, г)А,ЕДх, у)е~*". і
(6.4.9) 198
Глава 6
Предположим далее, что возмущение диэлектрического тензора «слабое», т. е. изменение модовых амплитуд является «медленным» и удовлетворяет условию
(6.4.10)
Это условие называется параболическим приближением и часто используется в случае малых возмущений. Таким образом, пренебрегая в уравнении (6.4.9) второй производной, получаем
d1 „ d ,
d?Ak
-2 iL?k(fzAk)Ek(x,y)e-^ =
= у, г)A1 ЕДх, у)е~'Ь*.
і
