Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
a = \ f° ст|Е|2 dx, (11.12.18)
2 J-OO
где а — проводимость, связанная с комплексной диэлектрической проницаемостью соотношением
ст = 2ие0пк = toe0e7. (11.12.19)
Используя выражения (11.12.7) и (11.12.8) для поля Е, а также выражения (11.12.4) и (11.12.6), после простого интегрирования в (11.12.18) мы приходим к выражению для коэффициента затухания а, аналогичному (11.12.14).
11.12.2. ПРИМЕР. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ВОЗДУХ — СЕРЕБРО
При длине волны X = 6328 А комплексный показатель преломления серебра равен п — ік = 0,067 - /4,05. В соответствии с (11.12.13) постоянная распространения поверхностной моды на гра- і 534
Глава 5
нице раздела между воздухом и серебром равна ? = 1,032((о/с) = 10,25 мкм-', а коэффициент затухания [см. (11.12.14)] равен a = 0,0022(w/c) = 220 см-'.
Постоянные затухания поля р и q вычисляются следующим образом:
р = 4,18(«/с) = 26,26/Х, . q = 0,25(ш/с) = 1,60/А.
Заметим, что амплитуда поля в серебре уменьшается до величины 26,26 = 4. JQ-12 на ГЛу5ИНЄ) равной длине волны X = 6328 А. Таким образом, волна в основном распространяется в воздухе, хотя направляется поверхностью серебра. Это находит также отражение в фазовой скорости поверхностной волны, которая равна с/1,032 и очень близка к скорости света в воздухе.
Коэффициент затухания а для серебра (п — ік = 10,8 — /60,7) при длине волны X=IO мкм равен
а = 0,6 см-
Если положить п2 = 1 и пренебречь величиной п2 в знаменателе выражения (11.12.14) (поскольку п2 < к2), то коэффициент затухания а можно записать в виде
a =I^. (11.12.20)
к X
Мы видим, что а уменьшается как /с-3. Значения коэффициента экс-тинкции к металлов, подобных серебру, золоту, алюминию и меди, очень большие. Таким образом, из (11.12.20) следует, что в инфракрасной области спектра коэффициент затухания а поверхностных волн для этих металлов мал.
ЗАДАЧИ
11.1. Теорема взаимности Лоренца. Пусть (Е,, H,) и (E1, H2) два независимых решения уравнений Максвелла (11.1.1) и (11.1.2). Покажите, что
V '(E1 X H2 - E2 X H1) = 0,
если Є И fX — эрмитовые тензоры (т. е. среда без потерь). Направляемые волны и интегральная оптика
535
11.2. Зеркальное преобразование локализованной моды. Диэлектрическая волноводная структура с профилем показателя преломления п2(х, у) является зеркально-симметричной относительно плоскости Z = 0.
а) Пусть E2 и H2 — векторы электрического и магнитного полей волны. Покажите, что зеркальные преобразования полей E2 и H2 определяются выражением (11.1.13).
б) Покажите, что
і RefE2 X H'*] • a, = RefE2 ХН»]-а:.
11.3. Соотношение ортогональности для ТЕ-мод. Пусть (E7, H/) и (Em, Hw)— две произвольные моды вида (11.1.3а) и (11.1.46) и задан интеграл
Ilm = \jj{^xn*m)'2i2da = 8lm.
а) Покажите, используя уравнения Максвелла (11.1.1) и (11.1.2) и оператору = V, + a^dZdz, что
Отсюда следует, что соотношение ортогональности
(11.1.17) для ТЕ-волн с Ez = 0 сводится к выражению
(11.1.18).
б) Покажите, используя интеграл из п. а задачи и интегрируя его по частям, что
ISlm-Illll +//E1-^da +
+ -?" ^-E1) Л.
Таким образом, достаточным условием для перехода от соотношения ортогональности (11.1.17) и (11.1.18) является выполнение условия либо V-E = 0, либо аг • E = 0.
в) Волновое уравнение (11.1.4) справедливо при условии, что V-E = 0. Получите соотношение ортогональности (11.1.18) непосредственно из уравнения (11.1.4). і 536
Глава 5
11.4. Соотношение ортогональности для TM-мод. Используйте формулировку задачи 11.3 и такое же определение для Ilm. а) Покажите, что
Таким образом, для TM-волн (Hz = 0) соотношение ортогональности (11.1.17) сводится к выражению (11.1.18). б) Получите соотношение, аналогичное соотношению, записанному в п. б задачи 11.3. Покажите, что условие H-Ve = 0 или аг • H = 0 является достаточным для выполнения соотношения ортогональности (11.1.19).
11.5. Коэффициент локализованности моды. Пусть Г, — доля мощности, распространяющаяся в среде і (/ = 1, 2, 3). В частности, долю T2 мощности моды в волноводном слое W2 обычно называют коэффициентом локализованности моды. Если мощность моды нормирована на величину 1 Вт, то Г, определяют в виде
где интегрирование производится по области, занимаемой /-й средой.
а) Покажите, что для ТЕ-мод имеют место следующие выражения:
Г, = ^Ref(E X H*)-SL2 dx, і = 1,2,3,
Г
l/g A2
t + l/g + 1/р A2 + д-
,2
+
t + l/g + 1/р A2 + P2 +
1/р р2
t + 1/д + 1/р
+ / + l/g + 1/ph2 + д2 '
1/д д2
1/р A2
/ -I- 1/д + 1/р A2 + р2 '
[Заметим, что Г, + Г2 + Г3 = 1. Это доказывает соотношение (11.2.7).] Направляемые волны и интегральная оптика
537
б) Покажите, что для TM-мод справедливы выражения l/q' А2
Г, =
t' + l/q' + Vp' A2 + q1 '
Г + ___+
2 t' + l/q' + Vp' t' + Vq' + Vp' h2 + q2
+ Vp' р
г
t' + l/q' + l/p' A2 + P2' l/p' A2
Гз Ґ + Vq' + Vp' A2VP2 '
где
-' = 4.
п\
1 =q2 + A2 J_ I ^ P2 + h2 J_ Я' q2 + h2' n2q P' P2+ h2 п\р'
в) Покажите, что T2 возрастает с увеличением ? и
