Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что модовое условие (11.11.5) может быть получено непосредственно из выражения ("11.2.5) с помощью подстановок q — Ihv h — h2, р Ihv Это соответствие между двумя группами постоянных следует из сравнения формы решений для локализованной моды (11.2.3) с решением (11.11.3). Знаки перед Zi1 и A3 в экспонентах решения (11.11.3) выбираются таким образом, чтобы решение описывало распространение волн в граничащих средах. Это соответствует утечке электромагнитной энергии из сердцевины в окружающую среду. Так как вся диэлектрическая структура является пассивной (т. е. отсутствуют усиление или источники излучения), утечка энергии должна соответствовать уменьшению энергии мод в сердцевине при распространении их вдоль оси z. Таким образом, постоянная распространения мод утечки должна представлять собой комплексное число
где а > О — коэффициент ослабления мощности моды, а /3<0> — вещественная величина. Действительно, модовое условие (11.11.5), полученное из электродинамического рассмотрения, не выполняется для вещественных значений ? в области 0 ^ ?2 ^ и^о- ^3 выражений (11.11.2)—(11.11.4) следует, что комплексная постоянная распространения ? (11.11.6) приводит к экспоненциальному уменьшению мощности мод вдоль оси Z и одновременно к экспоненциальному увеличению интенсивности волны с \х\ в граничной среде. Поскольку при Ixl = оо амплитуды полей становятся бесконечными, модовая функция (11.11.3) с комплексным ? не является решением
tg h2t = і
h\ + A1A3
(11.11.5)
? = j?(0) - і/а,
(11.11.6)524
Глава 11
уравнений Максвелла, если волноводная структура бесконечна в поперечном направлении. Однако выражение (11.11.3) описывает приближенно правильно поле вблизи сердцевины и внутри сердцевины в волноводной структуре конечной протяженности. Уравнение (11.11.5) можно решить, если учесть выражения (11.11.4) для величин A1, A2 и A3, определяющих комплексную постоянную распространения ?. Приближенное решение можно получить методом последовательных приближений (итераций), если волновод «широкий» и угол падения в2 близок к углу скольжения (O2 ~ тг/2), так что О = A2 < A1 3. В этом случае модовое условие можно приближенно записать в виде
tg а2/-й2(± + ±
(11.11.7)
Поскольку A2 A1 3, правая часть выражения (11.11.7) очень мала и в первом приближении ею можно пренебречь. Тогда в первом приближении для A2 имеем
A7 —
sir
s = 1,2,3....
(11.11.8)
Для широких волноводов (т. е. больших /) величина A2 действительно является небольшой при условии, что модовый индекс S мал. Так как A2 = 0, из (11.11.4) получаем следующие выражения для ?, A1 и A3 в приближении первого порядка:
? = п2к0,
К=к0{п\-п\)Х/\ А,-*0(„>-„!)"».
(11.11.9)
Во втором приближении мы подставляем Ap A2 и A3 из (11.11.8) и (11.11.9) в правую часть (11.11.7). Это приводит к выражению
tg A2/ = ї-
1
+
1
ко(п}-п\)Х/2 к0(п] - W2)'72
(11.11.10)
которое можно рассматривать как приближенное выражение для A2/, поскольку правая часть мала:
517 5я-
A2---1- /-г
2 ' /2
1
1
ко{п]-п\)1/2 к0{п\-п\)1/2
(11.11.11)Направляемые волны и интегральная оптика
525
Подстановка этого выражения в (11.11.4) дает второе приближение для ?:
? = "2^0
J _ 1_( SIT n2
2 \ n2k0t
-i\
SIT
V-
+
tn2(n23 - n2)>/2 tn2(n2-n\)
1/2
(11.11.12)
Таким образом, коэффициент затухания для ТЕ^-мод можно записать в виде
«Iе = 2
sir V k0t)
tn2(n\-n\)X/1 tn2(n]-n\)
+
1/2
или, используя к0 = 2тг/Х, в виде
ТЕ
2 n2X(t/X)
(п2-п2)1/2 (п2-п2)
1/2
5 = 1,2,3,...,
(11.11.13)
S= 1,2,3,....
(11.11.14)
Этот результат был получен в работе [31]. Мы видим, что коэффициент затухания уменьшается как t~3. Поскольку такое затухание обусловливается неполным отражением на диэлектрических границах (т. е. R < 1), коэффициент затухания как для ТЕ-, так и для TM-волн можно вычислить с помощью модели зигзагообразного распространения лучей.
11.11.1. ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Найдем теперь коэффициенты затухания и постоянную распространения ?, используя геометрооптическое приближение (см. разд. 11.2). Поскольку в случае, когда п2 < пх 3, фазовые сдвиги ф21 и ф23 при отражении от диэлектрических границ равны 0 или тг, модовое условие (11.2.22) принимает вид
h2t = W2^0COS 62t = sir, s= 1,2,3,..., (11.11.15)
где B2 — угол падения (см. рис. 11.31). Пусть Rli и R23 — коэффициенты отражения на диэлектрических границах х = О и х = —t соответственно. Из выражений (11.10.17) и (11.10.18) следует, что коэф-526
Глава і і
фициент затухания а можно записать в виде
а = —
2t tg A2
-^[InZt21 + InZt23].
(11.11.16)
При скользящем падении (cos O1 ~ 0) коэффициенты отражения Rlj и R13 можно приближенно записать следующим образом:
1
R21 =
W2COS O1 /I1COSfll W1COS $2 /J2COSfl1
(ТЕ), (ТМ),
(11.11.17)
rH ж
^w2COS A2 W3COS в3 ^ W3COS в2 W2COsfl3
(ТЕ), (ТМ),
(11.11.18)
где O1 и в3 — углы падения лучей (см. рис. 11.31) в средах 1 и 3 соответственно. Используя закон Снелля, для этих углов можно написать следующие приближенные выражения: