Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
где р и q — постоянные экспоненциального затухания в средах 3 и 1 соответственно. Поскольку для локализованной моды требуется,
P + q = 0,
(11.12.1)
34-631і 530
Глава 5
чтобы, р > 0 и q > 0, условие (11.12.1) не может быть выполнено. Это соответствует тому, что поверхностная ТЕ-мода не может существовать на границе раздела двух однородных сред. Для TM-волн модовая функция Ж (х) может быть записана в виде
Cepx, X < 0,
где С — постоянная нормировки. Условие существования мод можно получить из непрерывности функции Ez на границе х = 0 или непосредственно из выражения (11.2.11), полагая t = 0:
^ + (11.12.3)
w3 и,
Так как п\п\ < 0, условие (11.12.3) существования поверхностных TM-волн может быть удовлетворено для локализованного распространения с> 0 и ? > 0. Используя выражения (11.2.4) для р и q и модовое условие (11.12.3), постоянную распространения ? можно записать в виде
Распространяющаяся локализованная мода должна иметь вещественную постоянную распространения. Для этого из (11.12.4) и условия п\п\ < 0 получаем
п\ + п\<0, (11.12.5)
т. е. сумма диэлектрических проницаемостей сред должна быть отрицательной. В соответствии с (11.2.4) и (11.12.4) постоянные затухания р и q можно записать следующим образом:
2 (ы\2 р =
(11.12.6)
п] + п] \ с J '
Я2
Согласно условию (11.12.5), эти величины являются положительными. Из (11.2.9) и (11.12.2) мы имеем следующие выражения дляНаправляемые волны и интегральная оптика
531
составляющих электрического поля:
JL<Le-q*eW-?*)t Х>0,
^O п]
Er = I й • (11.12.7)
JL ±epxei(«t-fiz)t х<0)
Л-С~9хеЦш-р*) х>0
We0 И?
Е.-< ' (11.12.8)
— er*e««-?*) х<0.
weO и?
Мы видим, что вектор электрического поля E является эллиптически поляризованным в плоскости xz, причем главные оси эллипса параллельны осям координат. При распространении в направлении +Z (? > 0) вектор E имеет правую эллиптическую поляризацию в верхней половине пространства х > 0 и левую эллиптическую поляризацию в нижней половине пространства х < 0. Эллиптичности равны ?/q и — ?/p для верхней и нижней половин пространства соответственно (см. рис. П.33).
Нормировочная постоянная С выбирается таким образом, чтобы мощность поверхностной моды, определяемой выражениями (11.12.2), (11.12.7) и (11.12.8), была равна 1 Вт на единицу ширины в направлении оси у. Используя выражения (11.2.12) и (11.12.2), получаем
¦ і
? \ qn\ рп\ J
+ Л . <".>М>
11.12.1. КОЭФФИЦИЕНТ ЗАТУХАНИЯ
Выше мы предполагали, что как п], так и п2 являются вещественными. Например, в случае когда рассматривается граница раздела воздух — серебро, мы имеем для воздуха п\ = 1, а для серебра п\ с небольшой мнимой частью. Действительно, диэлектрические проницаемости E0rt2 большинства металлов представляют собой комплексные числа в оптической частотной области. Поверхностная волна, распространяющаяся на границе раздела металл — диэлектрик, испытывает омические потери. Поэтому она затухает в на-і 532
Глава 5
правлении оси z. Это соответствует комплексной постоянной распространения
? = ?V> - ija,
(11.12.10)
где а — коэффициент затухания мощности (11.10.2), а ?^0>— вещественная часть постоянной распространения. Выражение для постоянной распространения ?, полученное выше [выражение (11.12.4)], в действительности справедливо также для комплексных nj и л]. В случае границы раздела диэлектрик — металл и2 является вещественным положительным числом, а п\ — комплексным числом (п — ік)1. Таким образом, используя выражение (11.12.4), постоянную распространения поверхностной волны можно записать в виде
?
/2,(/7 - Ік)2 п] + (п - ік)2
1/2
(О
С '
(11.12.11)
где к — коэффициент экстинкции металла. В представляющей интерес спектральной области п < к. Это соответствует малой мнимой части величины п\, так как п\ = (/J2 — к2) — 2/и/с. В этом случае постоянная распространения ? приближенно записывается как
? = ?<°>
где ?(0) =
1 -
ткп.
{п2 - к2){п2 + п2 - к2)
/J2(/J2 - К2)
п2+(п2-к2)
1/2
«
С
(11.12.12)
(11.12.13)
Таким образом, согласно выражениям (11.12.10), (11.12.12) и (11.12.13), коэффициент затухания а можно записать следующим образом:
а =
2пкп\
W
[{п2 - к2){п2 + п2 - к2)ъ]
1/2 с
(11.12.14)
В выражениях (11.12.12)—(11.12.14) мы сохраняем член п2 - к2, так как он пропорционален вещественной части диэлектрической прони-Направляемые волны и интегральная оптика
533
цаемости металла. Используя диэлектрические проницаемости е, = е0и?,
0 (11.12.15)
eR - іє, = {п2 - к2)- і2пк,
постоянную распространения и коэффициент затухания можно записать соответственно в виде
'М^Г?* (11Л2Л6>
«= -tAl-« (11.12.17)
где е, — проницаемость диэлектрика, a er - ie1 — комплексная диэлектрическая проницаемость металла. Отметим, что е, > О, Er < О И ?, + Er < 0, Причем Е, ВСеГДЭ боЛЬШЄ НУЛЯ.
Коэффициент затухания может быть найден также из вычисления омических потерь. При этом мы получаем следующее выражение [аналогичное (11.10.11)]: