Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Для изучения распространения волн во внутреннем слое 2 полезно рассмотреть распространение плоских волн под некоторыми углами в к вертикальной оси х, испытывающих серию полных внутренних отражений на границах раздела II—I и II—III. Для этого выберем уравнение (11.1.326). Предполагая решение в виде E ~ ~ sin(Ax + a)e~iflz, мы получаем
?2 + h2 = к\п\. (11.1.33)
29-631 і 450
Глава 5
Результирующие прямоугольные треугольники со сторонами ?, h и к0п2 показаны на рис. 11.3. Заметим, что, поскольку частота постоянна, для случаев ф), (с), (сі) и (е) справедливо тождество к0п2 = = (и/с)п2. Таким образом, распространение излучения можно рассматривать как распространение плоской волны, направленной вдоль гипотенузы с неизменяющейся постоянной распространения к0п2. При уменьшении ? угол в уменьшается до тех пор, пока при ? = к0п3 не нарушится условие полного внутреннего отражения на границе III—II. Это следует из того факта, что условие волновод-ного распространения волн ? = к0п2 sin в > к0п3 эквивалентно неравенству в > arc sin(/j3/'Ai2) = Oc, где Oc — угол полного внутреннего отражения на границе раздела между слоями II и III. Поскольку W3 > W1, полное отражение на границе раздела II—III гарантирует полное внутреннее отражение на границе областей I—II. Использование полного внутреннего отражения для получения волноводных мод мы обсудим в конце следующего раздела.
11.2. ТЕ- И ТМ-МОДЫ В АСИММЕТРИЧНОМ ВОЛНОВОДЕ
Решим волновое уравнение (11.1.4) для диэлектрического волновода, показанного на рис. 11.2. Ограничимся при этом волноводны-ми модами, которые, согласно рис. 11.3, имеют постоянную распространения ?, такую, что
A:0w3 < ? < к0п2,
где w, < W3. При условии д/ду = 0 уравнение (11.1.4) для модовой функции принимает вид
где значения і = 1, 2, 3 отвечают соответственно областям I, II, III. В общем случае этот волновод содержит конечное число локализованных ТЕ- и TM-мод, первые из которых имеют компоненты Ey, Hx и Hz, а вторые — компоненты Hy, Ex и Ez.
11.2.1. ТЕ-МОДЫ
Компоненту поля E ТЕ-моды можно записать в виде
+ - ?2) б = 0, /=1,2,3,
(11.2.1)
(11.2.2) Направляемые волны и интегральная оптика
451
где модовая функция ?у (х) определяется следующим образом:
Ce-", 0 < х < оо,
-t «S X < О,
g J С |cos Ax - ? sin hx j,
C jros ht + ^ sin Afje'(jc+,),
(11.2.3)
OO < x < -1.
Подставляя (11.2.3) в уравнение (11.2.1), получаем
A = [n\kl - ?>y/2, g=(?2~ n]kl)x/2, P = - „2*2)
1/2
(11.2.4)
Решения cf и <Жг = (i/wfi)(d <?/дх) должны быть непрерывны при х = О и х = —f. Выбор коэффициентов в (11.2.3) осуществляется таким образом, чтобы функция <?у была непрерывной на обеих границах раздела, а ее производная д?у/дх была непрерывной при х = 0. Налагая требование непрерывности на dcf/dx при х = —t, из (11.2.3) имеем
Asin ht - qcosht = />|cosA/ + ^ sin Af J,
или
Xght = (p + <7)/A(1 - pq/h1). (11.2.5)
Выражение (11.2.5) нередко называют модовым условием, подразумевая при этом, что ему удовлетворяет постоянная распространения ? ТЕ-моды. При данных значениях показателей преломления и,, /J2 и /I3 пленарного волновода выражение (11.2.5), вообще говоря, дает конечное число решений для ?, при условии что толщина t достаточно большая. Эти моды удовлетворяют условию ортогональности в соответствии с общим рассмотрением, проведенным в разд. 11.1.
Постоянная С в выражении (11.2.3) является произвольной; однако для многих приложений, особенно для таких, в которых в распространении и обмене энергией участвует более чем одна мода, удобно определить величину С таким образом, чтобы она представляла собой суммарную мощность моды. Этот вопрос мы рассмотрим подробнее в разд. 11.3. Выберем С таким образом, чтобы поле ? (х) в (11.2.3) соответствовало потоку мощности 1 Вт (на единицу ширины в направлении у) в моде. При этом моде E = 452
Глава 11
= A<f (х) будет соответствовать поток мощности IAl2 Вт/м. Ус-
ловие нормировки при этом принимает вид
(11.2.6)
где индекс т относится к т-й локализованной ТЕ-моде [соответствующей w-му собственному значению выражения (11.2.5)] и Hx = = -i{an)~4Ey/dz.
Подставляя выражение (11.2.3) в (11.2.6), после громоздких, но прямых вычислений получаем
CV = Ih.
Ы/1
1/2
(11.2.7)
\?m\[t+(l/qm) + {VPm)](h2m + ql)m Условие ортогональности мод (11.1.17) принимает вид
2t0Ms (11.2.8)
J - 00 Pm
11.2.2. ТМ-МОДЫ
Решение для локализованных TM-мод в принципе получается таким же образом, как и для ТЕ-мод. Компоненты поля записываются в виде
Hy(x,z, 0 -
/ V і dHv ?
Ex{x,z,t) =---L = JL%(x)ei(Ul-?:)
ue dz ue ' '
„ , . і ВН.. Ez{x,z,t)~ -J-
we ax
Модовая функция Ж'(х) определяется следующим образом:
(11.2.9)
-С Ку(х) = С
— cos ht + sin ht Я
- — cos hx -I- sin hx Я
--Ce" qx
Я '
-t < x < 0, 0 < X.
(11.2.10) Направляемые волны и интегральная оптика
453
Используя условие непрерывности функций Hy и Ez на границах раздела, получаем характеристическое уравнение тем же способом, что и уравнение (11.2.5):
