Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 5
мы получим следующее уравнение:
V, • F - Ai 8? Re[(E X H*) • aj = -2 j S<o[E • eE* + H • цН*],
(11.1.24)
где F дается выражением
F = SE X Н* + SH* X E + H X SE* + Е* X SH. (11.1.25)
Выполняя в уравнении (11.1.24) интегрирование по всей плоскости ху и используя двумерную теорему для дивергенции
j j Vr^da = <f)F-ndl, (11.1.26)
получаем
фГ'пШ- 8i8?P = -Si8uU, (11.1.27)
где С — контур на бесконечности, а P и U определяются выражениями (11.1.19а) и (11.1.196) соответственно. Контурный интеграл в (11.1.27) обращается в нуль, поскольку на бесконечности амплитуды полей локализованных мод равны нулю. Это приводит к выражению
8? P = SwU. (11.1.28)
Используя определение групповой скорости и скорости распространения энергии, выражение (11.1.28) можно записать в виде
veS? = Sw=^)j8? = vg8?. (11.1.29)
Так как 5? — произвольное бесконечно малое число, мы заключаем, что для волноводной моды в диэлектрической структуре
Ve = Vg- (11.1.30)
Чтобы проиллюстрировать некоторые особенности диэлектрических волноводов, рассмотрим планарный волновод толщиной t из непроницаемого диэлектрика с показателем преломления п2, уложенного между непроницаемыми средами с показателем преломления /J1 с одной стороны и /J3 — с другой. Эта несложная структура выбирается вследствие того, что решение задачи в этом случае за- Направляемые волны и интегральная оптика
447
РИС. 11.2. Планарный диэлектрический волновод с дп/ду = 0. Ось у направлена перпендикулярно рисунку на читателя. Ломаная ABCD соответствует полному зигзагу луча.
писывается в простом виде. На рис. 11.2 схематически нарисована такая волноводная структура. Пусть координаты выбраны таким образом, что волна распространяется в плоскости xz, а показатель преломления определяется следующим образом:
("і 0 < x,
п(х,у)-<п2 -t<x< 0, (11.1.31)
("з * < — t.
Поскольку в направлении оси у показатель преломления не изменяется, в уравнении (11.1.4) можно положить д/ду = 0 и написать уравнения отдельно для областей I, II и III:
д2
Область I: —-E(x,y) + (k2n]-?2)E(x,y) = 0, (П.1.32а)
д2
Область II: --E(x,y) + (kln12-?2)E(x,y)=Q, (Ц.1.326) д2
Область III: j^E(x,y) + {kln2-?2)E{x,y) = Q\ (11.1.32b)
здесь = ш/с и Е(х, у) — компонента модовой функции (f(x, у) (11.1.3а).
Прежде чем искать решения уравнений (11.1.32), с помощью простых рассуждений исследуем физическую природу решений. Рас- і 448
Глава 5
(е) (d) (с) (Ь) (а)
? ? ? ?
РИС. 11.3. Вверху, различные режимы (a), (b), (г), (?/), (е) постоянной распространения ? для волновода, изображенного на рис. 11.2. В середине: распределения полей при различных значениях ?. Внизу, диаграммы волновых векторов, соответствующие различным режимам распространения.
смотрим решения как функцию постоянной распространения ? при фиксированной частоте со. Предположим, что п2 > п3 > пг При ? > k0n2 [т. е. режим (а) на рис. 11.3] из (11.1.32) непосредственно следует, что (\/Е)(д2Е/дх2) > 0 всюду, а Е(х) является экспоненциальной функцией во всех трех слоях (I, II, III). Из-за необходимости согласования как функции Е{х), так и ее производных на двух границах раздела распределение результирующего поля должно соответствовать случаю (а) на рис. 11.3. Поле увеличивается вне границ волновода по крайней мере в одну сторону, так что такое ре- Направляемые волны и интегральная оптика
449
шение физически не реализуется и не соответствует реальной волне.
При к0п3 < ? < к0п2 [режимы ф) и (с) на рис. 11.3] из уравнения (11.1.32) следует, что решение является синусоидальным в области II, так как (1 /Е)(д2Е/дх2) < 0, и экспоненциальным в областях I и III. Это позволяет получить решение Е{х), которое удовлетворяет граничным условиям и в то же время экспоненциально спадает в областях I и III. Два таких решения показаны на рис. 11.3 [случаи ф) и (с)]. Энергия, переносимая этими модами, локализуется в окрестности волноводного слоя II, и мы будем называть их локализованными, или направляемыми, модами. Из обсуждения, приведенного выше, следует, что необходимым условием их существования является выполнение неравенств k0nl, к0п3 < ? < < к0п2, так что локализованные моды существуют, только если /J2 > и,, /I3, т. е. внутренний слой имеет более высокий показатель преломления.
Модовые решения при Ar0Zi1 < ? < Ar0Zi3 [режим (?/)] соответствуют, согласно (11.1.32), экспоненциальному поведению в области I и синусоидальному — в областях II и III, как показано на рис. 11.3 [случай (tf)]. Мы будем называть такие моды излучательными модами подложки. В случае 0 < ? < kQnx [режим (е)] решение Е{х) становится синусоидальным во всех трех областях. Это так называемые излучательные моды волноводов.
Решения уравнений (11.1.32), удовлетворяющие граничным условиям на границах раздела (мы их запишем в следующем разделе), показывают, что, в то время как в режимах (d) и (с) величина ? является непрерывной, в режиме, когда к0п3 < ? < к0п2, значения ? являются дискретными. Число локализованных мод зависит от ширины t, частоты со и показателей преломления Zi1, zi2, пг При данной длине волны число локализованных мод увеличивается от О с увеличением t. При некотором значении t мода TE0 становится локализованной. Дальнейшее увеличение t приводит к моде TE1 и т. д.
