Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
На первый взгляд кажется, что условие полного отражения на обеих границах является достаточным для существования волно-водных мод. Однако полное внутреннее отражение — это лишь необходимое условие. Иными словами, не все лучи, которые удовлетворяют условию полного отражения, образуют моду. Мода по определению должна иметь одну постоянную распространения и определенную амплитуду поля в каждой точке пространства и времени. Рассмотрим представление моды cf(x)exp [/(otf - ?z)] с помощью зигзагообразной волны, определяемой выражением
где E0 — постоянная величина, а h — поперечное волновое число. Пусть плоская волна за время Д^ проходит расстояние Az по одному зигзагу ABCD (рис. 11.2). Если следовать по траектории луча
mir < hmt < (т + 1)7г.
(11.2.20)
Е(х, z, t) = Е0ехр[/(ы/ - ?z - /гх)],
(11.2.21) Направляемые волны и интегральная оптика
457
ABCD и учитывать при этом изменение фазы, обусловленное распространением и полными отражениями в точках В и С, то общее изменение фазы запишется в виде
WAt - ?Az - Iht + 2ф21 + 2ф23,
где 2ф21 и 2ф23 — изменения фазы при полном отражении в точках BuC соответственно. Мода ^(х)ехр[/'(otf — ?z)], распространяющаяся от точки А к точке D, приобретает изменение фазы uAt -
— ?Az- Следовательно, испытывающий полное отражение зигзагообразный луч отвечает моде лишь при условии, что дополнительное изменение фазы является кратным 2ж, т. е.
— 2ht + 2 ф21 + 2 ф23 = -2 mir, (11.2.22)
где т — целое число. Знак минус перед 2тж ставится для того, чтобы число т соответствовало модам TEm и TMm волновода. Для удобства изменения фазы 2ф21 и 2ф23 мод ТЕ или TM можно выразить через величины h, р и q следующим образом:
(ТЕ),
(11.2.23)
(ТМ),
г
2 ф21 =
2 arctg
2arctg ^ff n\h
ґ 2 arctg-
2^23 =
V
2arctg ^ff
n\h
(ТЕ), (TM).
(11.2.24)
Эти фазовые изменения заключены между 0 и ж. Следовательно, основная мода соответствует условию, когда 2Ы — 2ф21 + 2ф23, т. е. т = 0. Чем выше номер моды, тем больше величина ht. Поэтому целое число т в уравнении (11.2.22) принимает только неотрицательные значения: т = 0,1, 2, 3, ... . Условие (11.2.22) эквивалентно модовым условиям (11.2.5) и (11.2.11), полученным в задаче на собственные значения.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть имеется волновод на основе пленки GaAs толщиной 1,0 мкм, выращенной на подложке из AlGaAs. Показатели преломления при X = 1 мкм имеют следующие значения: и, = 1, 0, п2 = 3,50 и пъ = 3,20. Согласно рис. 11.4, і 458
Глава 5
РИС. 11.5. Три низшие ТЕ-моды планарного волновода и соответствующие им зиг-
загообразные лучи.
> ф. (ф= тг/2 - в ).
в этой пленке существуют три локализованные ТЕ-моды. Эффективные показатели преломления ?/kQ равны 3,473, 3,394 и 3,264 для мод с т = 0, 1 и 2 соответственно. Эти эффективные показатели преломления соответствуют углам падения луча O2 (определяемым из условия ? = п2к0 sinв2), равным 82,9°; 75,9° и 68,8° соответственно. Заметим, что все эти углы больше, чем критический угол вс = 66,1°. Основная мода (т = 0) всегда имеет больший эффективный показатель преломления и угол падения: ее эффективный показатель преломления приближается к W2. У моды высшего порядка эффективный показатель преломления наименьший и приближается к л3; они имеют наименьший угол падения, почти равный критическому углу. На рис. 11.5 показаны зигзагообразные лучи, соответствующие волноводным модам, рассмотренным выше.
Лучевая оптика представляет собой удобный метод получения модового условия для волноводного слоя. Однако в более сложных волноводных структурах, состоящих из многих однородных слоев или из неоднородных слоев, этот метод оказывается трудным для использования. Кроме того, геометрооптический подход позволяет получить лишь модовое условие и не дает распределения поля или соотношения ортогональности для мод. Направляемые волны и интегральная оптика
459
11.3. ВОЗМУЩЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТИ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОД
В предыдущем разделе мы рассматривали некоторые общие свойства мод диэлектрического волновода и, в частности, получили решения для локализованных мод, распространяющихся в волно-водном слое. Волноводные моды могут быть возбуждены и распространяться вдоль оси (г) диэлектрического волновода независимо друг от друга при условии, что диэлектрическая проницаемость е(х, у) = є0п2(х, у) сохраняется постоянной вдоль оси г. В случае когда имеется возмущение диэлектрической проницаемости AeQc, у, z), обусловленное несовершенствами волновода, искривлением оси, наличием гофра на поверхности и т. п., собственные моды оказываются связанными между собой. Иными словами, если на входе волновода возбуждается чистая мода, то некоторая часть ее мощности может перейти в другие моды. Существует большое число экспериментов и устройств, в которых намеренно создают взаимодействие между такими модами [2—5, 7]. Два типичных примера относятся к преобразованию мод ТЕ « TM электрооптическими методами [4, 5], с помощью акустооптического эффекта [2] или взаимодействия прямой и обратной мод из-за наличия гофра на одной из границ волновода. В данном разделе для описания такого взаимодействия мод мы используем теорию связанных мод, развитую в гл. 6. Некоторые из важных результатов можно кратко описать следующим образом. Возмущение диэлектрической постоянной представляется небольшим возмущающим членом Ae (х, у, г). Тогда тензор диэлектрической проницаемости как функция пространственных координат запишется в виде'
