Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
о
В отсутствие сигнала можно принять ложное решение, оцениваемое условной вероятностью ложной тревоги:
x = s + n,
Ps(x) + Pn(x) = l.
OO
(11.2)
00
(11.3)
xO
Условная вероятность правильного необнаружения
xO
1-F=\pn(x)dx.
306
о Глава 11. Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах
Графическая интерпретация этих выражений представлена на рис. 11.2. Площади кривых рп и рх, описывающих законы распределения вероятностей помех и смеси сигнала с помехами и ограниченных с одной стороны выбранным значением порога срабатывания х0, равны вероятностям F, I-F, D и 1-D. Величина п характеризует математическое ожидание помех, ах — математическое ожидание смеси сигнала s с помехами п. Иногда в качестве X принимают некоторое среднее значение сигнала, например потока, приходящего на входной зрачок ОЭП, которое рассчитывают по формулам, приведенным в гл. 14.
Очевидно, что чем больше х0, тем меньше вероятность ложной тревоги F. Однако при этом возрастает вероятность пропуска сигнала 1 —D, а кроме того, необходимо обеспечить выполнение более высоких требований к параметрам ОЭП, например увеличить мощность источника сигнала, увеличить площадь входного зрачка, чтобы сместить значение S , т. е. X и всю кривую вправо по оси х. При больших сигналах уровень срабатывания X0 выбирают достаточно высоким; при слабых сигналах значение X0 приближается к п. Выбор величины X0 связан с необходимостью обеспечить требуемое отношение сигнал/помеха, о чем будет сказано ниже.
Зная законы распределения вероятностейps(x)« рх(х) ирп(х), можно рассчитать отношение правдоподобия Л = ps(x)/pn(x). Затем можно принять решение о наличии сигнала (срабатывании прибора), которое происходит в том случае, если Л превышает некоторое пороговое значение. Например, может быть определено, что отношение Л > q/p. Зная вероятности (I-D) и F, можно определить так называемую функцию потерь:
L = K1(1-D) + K2F,
где K1 и K2 — коэффициенты, определяющие долю ущерба, который вызывает пропуск сигнала и ложная тревога.
При оценке оптимальности фильтра обнаружения применяют различные критерии (Байеса, Неймана-Пирсона, Котельникова и др.). Например, в соответствии с критерием Котельникова (критерий идеального наблюдателя) оптимальным считается тот фильтр (ОЭП), для которого вероятности пропуска сигнала I-D и ложной тревоги F минимальны. Оптимальный фильтр по критерию Неймана-Пирсона ми-
Рис. 11.2. Условные плотности вероятности помехи и смеси сигнала с помехой
307 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
нимизирует одну из величин I-D или F при данном значении второй.
Для случая, когда на вход прибора поступает аддитивная смесь х(а) полезного сигнала s(a) и гауссовской (нормальной) помехи п(а), с точностью до несущественных величин отношение правдоподобия приводится к виду
О)
A= f*(a)e(a)da, (11.4)
-О)
где a — параметр, по которому оценивается качество приема (время, пространственная координата и т.п.).
Из (11.4) следует, что максимальное правдоподобие между переданным s(a) и принятым x(a) сигналами достигается при обеспечении максимума их функции взаимной корреляции, т.е. идеальный приемник должен быть приемником корреляционного типа. Реализация идеального приемника связана с большими трудностями, поэтому на практике обычно используют другие методы приема сигналов при наличии помех.
В том случае, если сигнал s(a) заранее известен и его нужно только обнаружить, можно довольно просто определить частотную характеристику оптимального фильтра. Сравним полученное ранее (см. § 2.1) выражение для сигнала на выходе системы (линейного фильтра) с импульсной характеристикой h(a):
+00
i/(?) = J*(a)A(?-a)Ax
-О)
и отношение правдоподобия для оптимальной приемной системы (11.4).
Очевидно, что для оптимального приема, т.е. для достижения максимальной идентичности этих двух выражений, необходимо обеспечить идентичность функций A(?-a) и s(a). Поскольку аргумент а входит в Л и S с разными знаками, нужна идентичность не просто функций h(а) и s(a), но идентичность одной из них, например h(а), зеркальному изображению другой -s(-a), т. е. необходимо, чтобы
й(а) = A0s(a0-a). (11.5)
Величина а0 учитывает возможный (но не обязательный) сдвиг начал отсчета функций s и Л и влияет только на фазу выходного сигнала. Для пространственных фильтров, в отличие от временных, часто этот сдвиг можно принять равным нулю, т.е. принять, что выходной и входной сигналы формируются в одной системе координат (а0= 0). Поэто-
308 Глава 11. Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах
му можно записать
Л(а) = A0S^-а).
Таким образом, импульсная характеристика оптимальной системы обнаружения с точностью до постоянного множителя A0 является зеркальным изображением полезного входного сигнала s(a) (рис. 11.3). Величина A0 это постоянный, не зависящий от а, коэффициент, который учитывает нормирование функций h и s, а также различие в их размерностях. Например, если импульсная характеристика оптико-электронной системы безразмерна, то A0 имеет размерность, обратную размерности сигнала s(a). В том случае, если функции S и Л, выраженные в абсолютных значениях представляемых ими физических величин, рассматриваются в различных точках системы, например s(a) характеризует пространственное распределение яркости L на входе объектива, а h(a) — распределение освещенности E в изображении точечного источника, коэффициент A0 должен учитывать переход от пространства объектов к пространству изображений, т.е. переход от L к Е.
